Проверьте, является ли равенство
\(\displaystyle \frac{2}{x-3}-\frac{7}{x+5}=\frac{31-5x}{x^2+2x-15}\)
тождеством, преобразовав его левую часть.
После преобразования левой части получили выражение
Является ли исходное равенство тождеством?
Преобразуем левую часть равенства
\(\displaystyle \color{green}{\frac{2}{x-3}-\frac{7}{x+5}}=\color{blue}{\frac{31-5x}{x^2+2x-15}}{\small. }\)
Для этого приведём дроби \(\displaystyle \frac{2}{x-3}\) и \(\displaystyle \frac{7}{x+5}\) к общему знаменателю \(\displaystyle (x-3)(x+5)\) и выполним вычитание:
\(\displaystyle \begin{aligned}& \frac{2}{x-3}-\frac{7}{x+5}=\frac{2(x+5)-7(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{2x+10-7x+21}{(x-3)(x+5)}=\\ \\& \qquad\qquad\qquad \qquad= \frac{2x+10-7x+21}{(x-3)(x+5)} = \frac{-5x+31}{(x-3)(x+5)} {\small .}\end{aligned} \)
В числителе поменяем местами слагаемые, в знаменателе – раскроем скобки и приведём подобные:
\(\displaystyle \frac{-5x+31}{(x-3)(x+5)} = \frac{31-5x}{x^2+5x-3x-15}=\color{green}{\frac{31-5x}{x^2+2x-15}}{\small .}\)
В результате тождественных преобразований получили из выражения в левой части равенства выражение в правой.
Это означает, что выражения равны при любых допустимых значениях переменной \(\displaystyle x{\small .}\)
Тогда по определению
Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
равенство \(\displaystyle \frac{2}{x-3}-\frac{7}{x+5}={\frac{31-5x}{x^2+2x-15}}\) является тождеством.
Ответ: \(\displaystyle \frac{31-5x}{x^2+2x-15}{\small, }\) да.