Последовательность задана формулой
\(\displaystyle a_n=\frac{4n+9}{n+1}{\small .}\)
Укажите какое-нибудь значение \(\displaystyle m\) такое, что \(\displaystyle a_n \geqslant m\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
\(\displaystyle m=\).
Закончите фразу:
Можно утверждать, что данная последовательность .
Требуется найти \(\displaystyle m{\small ,}\) такое, что
\(\displaystyle a_n \geqslant m\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
Преобразуем формулу общего члена последовательности
\(\displaystyle a_n=\frac{4n+9}{n+1}{\small .}\)
Представим дробь \(\displaystyle \frac{4n+9}{n+1}\) в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделим целую часть дроби).
\(\displaystyle a_n=4+\frac{5}{n+1}{\small .}\)
По условию \(\displaystyle n\)– натуральное число.
Тогда \(\displaystyle n+1{\small ,}\) а значит, и \(\displaystyle \frac{5}{n+1}{\small }\)положительны.
Значит, для любых натуральных \(\displaystyle n\) выполнено неравенство:
\(\displaystyle \color{blue}{\frac{5}{n+1}}>0{\small .}\)
Попробуем из последнего неравенства получить неравенство (оценку) для \(\displaystyle a_n=\red {4} +\color{blue}{\frac{5}{n+1}}{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{5}{n+1}>0 \)
Прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle \red {4} {\small :}\)
\(\displaystyle \red {4}+\frac{5}{n+1}>\red {4}{\small .}\)
Теперь в левой части неравенства стоит выражение для \(\displaystyle a_n{\small .}\)
Получили, что для любых натуральных \(\displaystyle n\) выполнено
\(\displaystyle a_n>4{\small .}\)
Заметим, что из полученного неравенства следует неравенство
\(\displaystyle a_n \geqslant 4{\small .}\)
Значит, в качестве значения \(\displaystyle m\) можно взять \(\displaystyle 4\) (или любое число, меньшее чем \(\displaystyle 4\)).
Осталось определить, является ли исходная последовательность ограниченной снизу.
Вспомним определение.
Последовательность \(\displaystyle (a_n)\) называется ограниченной снизу, если
существует такое число \(\displaystyle m{\small ,}\) что \(\displaystyle a_n \geqslant m\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
Для исходной последовательности существует число \(\displaystyle m=4\) такое, что \(\displaystyle a_n \geqslant 4\) при любом \(\displaystyle n {\small .}\)
Значит, данная последовательность ограничена снизу.
Ответ: \(\displaystyle m=4\) (или любое число, меньшее чем \(\displaystyle 4\)); данная последовательность ограничена снизу.