Теория: 15 Ограниченные последовательности: задание в виде дробно-рационального выражения (короткая версия)

Разделим многочлен \(\displaystyle 4n+9\) на многочлен \(\displaystyle n+1{\small }\) в столбик.

Получаем:

\(\displaystyle 4n+9 = ( n+1)\cdot {\bf {4}}+{\bf {5}} {\small .}\)

Тогда исходная дробь принимает вид:

\(\displaystyle \frac{4n+9}{n+1} = \frac{4(n+1) +5}{n+1}{\small .}\)

Представим дробь в виде суммы дробей и упростим полученное выражение: 

\(\displaystyle \frac{4(n+1) +5}{n+1} = \frac{4(n+1)}{n+1} + \frac{5}{n+1} = \red {4} + \color {blue}{\frac{5}{n+1}}{\small .}\)

По условию \(\displaystyle n\)– натуральное число.

Тогда \(\displaystyle n+1{\small ,}\) а значит, и \(\displaystyle \frac{5}{n+1}{\small }\)положительны.

Значит, для любых натуральных \(\displaystyle n\) выполнено неравенство:

\(\displaystyle \color{blue}{\frac{5}{n+1}}>0{\small .}\)

Попробуем из последнего неравенства получить неравенство (оценку) для \(\displaystyle a_n=\red {4} +\color{blue}{\frac{5}{n+1}}{\small .}\)

\(\displaystyle \frac{5}{n+1}>0 \)

Прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle \red {4} {\small :}\)

\(\displaystyle \red {4}+\frac{5}{n+1}>\red {4}{\small .}\)

Теперь в левой части неравенства стоит выражение для \(\displaystyle a_n{\small .}\)

Получили, что для любых натуральных \(\displaystyle n\) выполнено

\(\displaystyle a_n>4{\small .}\)

Заметим, что из полученного неравенства следует неравенство

\(\displaystyle a_n \geqslant 4{\small .}\)

Значит, в качестве значения \(\displaystyle m\) можно взять \(\displaystyle 4\) (или любое число, меньшее чем \(\displaystyle 4\)).

По условию \(\displaystyle n\)– натуральное число.

Тогда 

\(\displaystyle n \geqslant 1{\small .}\)

Попробуем из последнего неравенства получить неравенство (оценку) для \(\displaystyle a_n=\red {4} +\frac{\color{blue}{5}}{n+\color{green}{1}}{\small .}\)

Прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle \color{green}{1}{\small :}\)

\(\displaystyle n+\color{green}{1} \geqslant 2{\small .}\)

Воспользуемся свойством

и получим:

\(\displaystyle \frac {1}{n+\color{green}{1}} \leqslant \frac{1}{2}{\small .}\)

Умножим обе части полученного неравенства на \(\displaystyle \color{blue}{5}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{5}}{n+\color{green}{1}}\leqslant \frac{\color{blue}{5}}{2}{\small .}\)

Прибавим к обеим частям последнего неравенства \(\displaystyle \red {4} {\small :}\)

\(\displaystyle \red {4}+\frac{\color{blue}{5}}{n+\color{green}{1}} \leqslant \red {4}+\frac{5}{2}{\small ,}\)

\(\displaystyle \red {4}+\frac{5}{n+1} \leqslant 6{,}5{\small .}\)

Теперь в левой части неравенства стоит выражение для \(\displaystyle a_n{\small .}\)

Получили, что для любых натуральных \(\displaystyle n\) выполнено

\(\displaystyle a_n \leqslant 6{,}5 {\small .}\)

Значит, в качестве значения \(\displaystyle M\) можно взять \(\displaystyle 6{,}5\) (или любое число, большее чем \(\displaystyle 6{,}5\)).