Skip to main content

Теория: 07 Применение признаков параллельности прямых (короткая версия)

Задание

Два отрезка \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle PQ\) имеют общую середину \(\displaystyle O{\small .}\)

Дополните доказательство параллельности прямых \(\displaystyle AQ\) и \(\displaystyle BP\) ссылками на подходящие теоремы.

\(\displaystyle 1{\small .}\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \\ \\ \\ \\ \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle PO=QO\)   
 \(\displaystyle AO=BO\) \(\displaystyle {\LARGE \Rightarrow}\)\(\displaystyle ~~{\bf\triangle}AOQ={\bf\triangle}BOP\)
 \(\displaystyle \angle AOQ=\angle BOP\) Перетащите сюда правильный ответ   Перетащите сюда правильный ответ

 

 

 

 

     
\(\displaystyle 2{\small .}~~~{\bf\triangle}AOQ={\bf\triangle}BOP\)\(\displaystyle {\LARGE \Rightarrow}\)\(\displaystyle \angle OAQ=\angle OBP\)\(\displaystyle {\LARGE \Rightarrow}\)\(\displaystyle AQ\,||\,BP\)
     Перетащите сюда правильный ответ

 

 

 

 

Решение

Структура доказательства выглядит так:

  • доказывается равенство треугольников;
  • равные углы этих треугольников позволяют применить один из признаков параллельных прямых.

Значит, нужно уточнить состав равных элементов треугольников, признак, по которому равны треугольники, и применённый признак параллельности.

1. Треугольники \(\displaystyle AOQ\) и \(\displaystyle BOP\) равны по первому признаку.

На рисунке обозначены две пары равных сторон треугольников \(\displaystyle AOQ\) и \(\displaystyle BOP{\small .}\)

Углы между этими сторонами не отмечены как равные, это пара вертикальных углов.

Вертикальные углы равны.

Значит, треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). При этом равенство углов обосновано тем, что они вертикальные.

2. Для доказательства прямых \(\displaystyle AQ\) и \(\displaystyle BP\) удобно использовать равенство накрест лежащих углов.

В равных треугольниках \(\displaystyle AOQ\) и \(\displaystyle BOP\) равны углы \(\displaystyle OAQ\) и \(\displaystyle OBP{\small ,}\) расположенные напротив равных сторон \(\displaystyle OQ\) и \(\displaystyle OP{\small .}\)

Эти равные углы являются накрест лежащими при пересечении секущей \(\displaystyle AB\) прямых \(\displaystyle AQ\) и \(\displaystyle BP{\small .}\)

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Значит, параллельность прямых обосновывается равенством накрест лежащих углов.

Заполняем поля ответа согласно восстановленному рассуждению.

Ответ: