Математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X\) равно \(\displaystyle 400\small,\) а дисперсия \(\displaystyle X\) равна \(\displaystyle 40\small.\)
Оцените вероятность того, что \(\displaystyle X\) не попадает в интервал от \(\displaystyle 350\) до \(\displaystyle 450\small.\)
Условие, что \(\displaystyle X\) не попадает в интервал от \(\displaystyle 350\) до \(\displaystyle 450\small,\) равносильно тому, что \(\displaystyle X\) отличается от \(\displaystyle 400\) не меньше чем на \(\displaystyle 50\small.\)
Используем
Неравенство Чебышева
Если у случайной величины \(\displaystyle X\) математическое ожидание равно \(\displaystyle E(X)\small,\) дисперсия равна \(\displaystyle D(X)\small,\) то для любого положительного числа \(\displaystyle a\) выполняются неравенства\(\displaystyle P(|X-E(X)|\geq a)\leq \frac{D(X)}{a^2}\small\)
и
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq a)\geq 1- \frac{D(X)}{a^2}\small.\)
в первом варианте для \(\displaystyle E(X)=400\small,\) \(\displaystyle D(X)=40\small,\) \(\displaystyle a=50\small.\)
Получим
\(\displaystyle P(|X-400|\geq 50)\leq \frac{40}{{50}^2}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-400|\geq 50)\leq \frac{40}{{2500}}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-400|\geq 50)\leq 0{,}{016}\small.\)
Значит, вероятность того, что \(\displaystyle X\) отличается от \(\displaystyle 400\) не меньше чем на \(\displaystyle 50\small, \) не превосходит \(\displaystyle 0{,}{016}\small.\)
Следовательно, вероятность того, что \(\displaystyle X\) не попадает в интервал от \(\displaystyle 350\) до \(\displaystyle 450\small, \) не превосходит \(\displaystyle 0{,}{016}\small.\)
Ответ: вероятность того, что \(\displaystyle X\) не попадает в интервал от \(\displaystyle 350\) до \(\displaystyle 450\small, \) не превосходит \(\displaystyle 0{,}{016}\small.\)