Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что случайная величина \(\displaystyle X\)отличается от своего математического ожидания не больше, чем на \(\displaystyle 4\small\) стандартных отклонения.
Используем
Неравенство Чебышева
Если у случайной величины \(\displaystyle X\) математическое ожидание равно \(\displaystyle E(X)\small,\) дисперсия равна \(\displaystyle D(X)\small,\) то для любого положительного числа \(\displaystyle a\) выполняются неравенства\(\displaystyle P(|X-E(X)|\geq a)\leq \frac{D(X)}{a^2}\small\)
и
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq a)\geq 1- \frac{D(X)}{a^2}\small.\)
во втором варианте для \(\displaystyle a=4\sigma (X)\small.\)
Учитывая\(\displaystyle D(X)=(\sigma (X))^2\small,\) получим
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq 4\sigma (X))\geq 1- \frac{(\sigma (X))^2}{{(4\sigma (X))}^2}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq 4\sigma (X))\geq 1- \frac{(\sigma (X))^2}{{16(\sigma (X))}^2}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq 4\sigma (X))\geq 1- \frac{1}{16}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq 4\sigma (X))\geq \frac{15}{16}\small.\)
Значит, вероятность того, что \(\displaystyle X\) отличается от \(\displaystyle E(X)\) не больше чем на \(\displaystyle 4\small\) стандартных отклонения, не меньше \(\displaystyle \frac{15}{16}\small.\)
Ответ: вероятность того, что \(\displaystyle X\) отличается от \(\displaystyle E(X)\) не больше чем на \(\displaystyle 4\small\) стандартных отклонения, не меньше \(\displaystyle \frac{15}{16}\small.\)