Проводились испытания Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p=0{,}4\small.\) Всего было проведено \(\displaystyle 2000\) испытаний.
Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что число успехов не попадает в интервал от \(\displaystyle 760\) до \(\displaystyle 840\small.\)
Рассмотрим случайную величину \(\displaystyle X\)– количество успехов в \(\displaystyle 2000\) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p=0{,}4\small.\)
Cлучайная величина \(\displaystyle X\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(\displaystyle n=2000\) и \(\displaystyle p=0{,}4\small.\)
Условие, что число успехов не попадает в интервал от \(\displaystyle 760\) до \(\displaystyle 840\small,\) равносильно тому, что разница между числом успехов и средним числом успехов не меньше чем \(\displaystyle 40\small,\)
Используем
Неравенство Чебышева
Если у случайной величины \(\displaystyle X\) математическое ожидание равно \(\displaystyle E(X)\small,\) дисперсия равна \(\displaystyle D(X)\small,\) то для любого положительного числа \(\displaystyle a\) выполняются неравенства\(\displaystyle P(|X-E(X)|\geq a)\leq \frac{D(X)}{a^2}\small\)
и
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq a)\geq 1- \frac{D(X)}{a^2}\small.\)
в первом варианте для \(\displaystyle E(X)=800\small,\) \(\displaystyle D(X)=480\small,\) \(\displaystyle a=40\small.\)
Получим
\(\displaystyle P(|X-800|\geq 40)\leq \frac{480}{{40}^2}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-800|\geq 40)\leq \frac{480}{{1600}}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-800|\geq 40)\leq 0{,}{3}\small.\)
Значит, вероятность того, что \(\displaystyle X\) отличается от \(\displaystyle 800\) не меньше чем на \(\displaystyle 40\small, \) не больше \(\displaystyle 0{,}{3}\small.\)
Следовательно, вероятность того, что число успехов отличается от среднего числа успехов не меньше чем на \(\displaystyle 40\small, \) не больше \(\displaystyle 0{,}{3}\small.\)
Тогда вероятность того, что число успехов не попадает в интервал от \(\displaystyle 760\) до \(\displaystyle 840\small, \) не больше \(\displaystyle 0{,}{3}\small.\)
Ответ: вероятность того, что число успехов не попадает в интервал от \(\displaystyle 760\) до \(\displaystyle 840\small, \) не больше \(\displaystyle 0{,}{3}\small.\)