Вероятность опоздания пассажира на поезд составляет \(\displaystyle 0{,}004\small.\)
Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что из \(\displaystyle 25000\) пассажиров количество опоздавших будет не более \(\displaystyle 60\small\) или не менее \(\displaystyle 140\small.\)
Рассмотрим случайную величину \(\displaystyle X\)– количество опоздавших из \(\displaystyle 25000\) пассажиров.
Случайная величина \(\displaystyle X\)– количество успехов в \(\displaystyle 25000\) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p=0{,}004\small.\)
Cлучайная величина \(\displaystyle X\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(\displaystyle n=25000\) и \(\displaystyle p=0{,}004\small.\)
Условие, что количество опоздавших будет не более \(\displaystyle 60\small\) или не менее \(\displaystyle 140\small, \) равносильно тому, что разница между числом успехов и средним числом успехов \(\displaystyle 100\) не меньше чем \(\displaystyle 40\small.\)
Используем
Неравенство Чебышева
Если у случайной величины \(\displaystyle X\) математическое ожидание равно \(\displaystyle E(X)\small,\) дисперсия равна \(\displaystyle D(X)\small,\) то для любого положительного числа \(\displaystyle a\) выполняются неравенства\(\displaystyle P(|X-E(X)|\geq a)\leq \frac{D(X)}{a^2}\small\)
и
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq a)\geq 1- \frac{D(X)}{a^2}\small.\)
в первом варианте для \(\displaystyle E(X)=100\small,\) \(\displaystyle D(X)=99{,}6\small,\) \(\displaystyle a=40\small.\)
Получим
\(\displaystyle P(|X-100|\geq 40)\leq \frac{99{,}6}{{40}^2}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-100|\geq 40)\leq \frac{99{,}6}{{1600}}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-100|\geq 40)\leq 0{,}{06225}\small.\)
Значит, вероятность того, что \(\displaystyle X\) отличается от \(\displaystyle 100\) не меньше чем на \(\displaystyle 40\small, \) не превосходит \(\displaystyle 0{,}{06225}\small.\)
Следовательно, вероятность того, что из \(\displaystyle 25000\) пассажиров количество опоздавших будет не более \(\displaystyle 60\small\) или не менее \(\displaystyle 140\small, \) не превосходит \(\displaystyle 0{,}{06225}\small.\)
Ответ: вероятность того, что из \(\displaystyle 25000\) пассажиров количество опоздавших будет не более \(\displaystyle 60\small\) или не менее \(\displaystyle 140\small, \) не превосходит \(\displaystyle 0{,}{06225}\small.\)