Количество бракованных деталей составляет \(\displaystyle 4\%\) числа всех деталей.
Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что из \(\displaystyle 2500\) деталей количество бракованных деталей не более \(\displaystyle 80\small\) или не менее \(\displaystyle 120\small.\)
Рассмотрим случайную величину \(\displaystyle X\)– количество бракованных из \(\displaystyle 2500\) деталей.
Случайная величина \(\displaystyle X\)– количество успехов в \(\displaystyle 2500\) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(\displaystyle p=0{,}04\small.\)
Cлучайная величина \(\displaystyle X\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(\displaystyle n=2500\) и \(\displaystyle p=0{,}04\small.\)
Условие, что количество бракованных деталей не более \(\displaystyle 80\small\) или не менее \(\displaystyle 120\small,\) равносильно тому, что разница между количеством бракованных деталей и средним числом бракованных деталей \(\displaystyle 100\) не меньше чем \(\displaystyle 20\small.\)
Используем
Неравенство Чебышева
Если у случайной величины \(\displaystyle X\) математическое ожидание равно \(\displaystyle E(X)\small,\) дисперсия равна \(\displaystyle D(X)\small,\) то для любого положительного числа \(\displaystyle a\) выполняются неравенства\(\displaystyle P(|X-E(X)|\geq a)\leq \frac{D(X)}{a^2}\small\)
и
\(\displaystyle P(|X-E(X)|\leq a)\geq 1- \frac{D(X)}{a^2}\small.\)
в первом варианте для \(\displaystyle E(X)=100\small,\) \(\displaystyle D(X)=96\small,\) \(\displaystyle a=20\small.\)
Получим
\(\displaystyle P(|X-100|\geq 20)\leq \frac{96}{{20}^2}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-100|\geq 20)\leq \frac{96}{{400}}\small,\)
\(\displaystyle P(|X-100|\geq 20)\leq 0{,}24\small.\)
Значит, вероятность того, что \(\displaystyle X\) отличается от \(\displaystyle 100\) не меньше чем на \(\displaystyle 20\small, \) не больше \(\displaystyle 0{,}24\small.\)
Следовательно, вероятность того, что из \(\displaystyle 2500\) деталей количество бракованных деталей не более \(\displaystyle 80\small\) или не менее \(\displaystyle 120\small, \) не больше \(\displaystyle 0{,}24\small.\)
Ответ: вероятность того, что из \(\displaystyle 2500\) деталей количество бракованных деталей не более \(\displaystyle 80\small\) или не менее \(\displaystyle 120\small, \) не больше \(\displaystyle 0{,}24\small.\)