Skip to main content

Теория: 14 Применение теоремы о сумме углов треугольника

Задание

Медиана \(\displaystyle CM\) треугольника \(\displaystyle ABC\) равна отрезкам, на которые делит сторону \(\displaystyle AB{\small .}\)

Как выражается величина \(\displaystyle \beta\) угла треугольника при вершине \(\displaystyle B\) через величину \(\displaystyle \alpha\) угла при вершине \(\displaystyle A{\text ?}\)  

Решение

1. Найдём на рисунке два равнобедренных треугольника и отметим равные углы при их основаниях.

По условию треугольники \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle BCM\) являются равнобедренными.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Значит, 

  • в равнобедренном треугольнике \(\displaystyle ACM\) равны углы \(\displaystyle ACM\) и \(\displaystyle CAM{\small ,}\)
  • в равнобедренном треугольнике \(\displaystyle BCM\) равны углы \(\displaystyle BCM\) и \(\displaystyle CBM{\small .}\)

2. Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника для того, чтобы выразить искомую величину угла.

Сумма величин углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)

Выпишем сумму углов треугольника \(\displaystyle ABC{\text :}\)

\(\displaystyle \angle BAC+\angle ACB+\angle ABC=180\degree {\small .}\)

Подставим величины углов. Заменим в равенстве величину угла \(\displaystyle ACB\) на величины \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta\) частей, из которых он составлен:

 \(\displaystyle \alpha+\alpha+\beta+\beta=180\degree {\small .}\)

Выражая из этого равенства величину \(\displaystyle \beta{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle 2\beta=180\degree -2\alpha{\small ,}\)

\(\displaystyle \beta=90\degree -\alpha{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \beta=90\degree -\alpha{\small .}\)