Skip to main content

Теория: Задачи на совместную работу (короткая версия)

Задание

Два \(\displaystyle 3D\)- принтера должны были изготовить некоторое количество деталей. \(\displaystyle 30\) минут принтеры проработали вместе, после чего первый принтер сломался. Второй принтер закончил оставшуюся часть работы за \(\displaystyle 1\) час \(\displaystyle 45\) минут. За какое время мог изготовить запланированное количество деталей второй принтер, если ему требуется для этого на \(\displaystyle 1\) час больше, чем первому? 
 

ч    мин

Решение

1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Примем весь объём работ по изготовлению деталей за \(\displaystyle \red1\).

Пусть \(\displaystyle x\) часов – время, за которое первый принтер изготовит все детали в одиночку.

Второй принтер для выполнения той же работы, по условию, потратит на \(\displaystyle 1\) час больше, то есть \(\displaystyle x+1\) часов.

Тогда

  • первый принтер за час изготовит \(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{x}}\) часть всех деталей,
     
  • второй принтер за час изготовит \(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{x+1}}\) часть всех деталей.


Значит, работая вместе, они за час изготовят \(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{x}} + \color{blue}{\frac{1}{x+1}}\) часть всех деталей.

По условию,

  • принтеры вместе за \(\displaystyle {30}\) минут, то есть за \(\displaystyle \color{#009900}{\frac{1}{2}}\) часа, изготовили \(\displaystyle \left(\color{blue}{\frac{1}{x}} + \color{blue}{\frac{1}{x+1}}\right) \cdot \color{#009900}{\frac{1}{2}}\) часть всех деталей,
     
  • потом один второй принтер за \(\displaystyle 1\) час \(\displaystyle 45\) минут, то есть \(\displaystyle \color{#009900}{\frac{7}{4}} \) часа, изготовил \(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{x+1}} \cdot \color{#009900}{\frac{7}{4}}\) часть всех деталей.


Так как в результате вся работа была выполнена, составим уравнение:

\(\displaystyle \left(\color{blue}{\frac{1}{x}} + \color{blue}{\frac{1}{x+1}}\right) \cdot \color{#009900}{\frac{1}{2}} + \color{blue}{\frac{1}{x+1}} \cdot \color{#009900}{\frac{7}{4}} = \red1{\small .}\)

или, после упрощения:

\(\displaystyle {\frac{1}{2x} + \frac{9}{4(x+1)} = 1{\small.}}\)

2. Решим полученное уравнение.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведём их к общему знаменателю.

Получим

\(\displaystyle \frac{-4x^2 + 7x + 2}{4x(x+1)} = 0{\small}\)

или, после умножения обеих частей уравнения на \(\displaystyle -1{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{4x^2 - 7x - 2}{4x(x+1)} = 0{\small .}\)

Данное уравнение равносильно системе

\(\displaystyle \begin{cases} 4x^2 - 7x - 2 = 0,\\ 4x(x+1) =\not 0{\small .}\end{cases} \) 

Квадратное уравнение \(\displaystyle 4x^2 - 7x - 2 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=-\frac{1}{4}{\small . }\)

\(\displaystyle 4x(x+1) =\not 0\) при \(\displaystyle x =\not 0\) и \(\displaystyle x =\not -1{\small .}\)

Получили:

\(\displaystyle \begin{cases} x=2,\ x=-\dfrac{1}{4},\\[5px] x =\not 0,\ x =\not -1{\small .} \end{cases}\)

\(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=-\frac{1}{4}\) являются решениями системы, а значит, и исходного уравнения.


3. Ответим на вопрос задачи.

За \(\displaystyle x\) обозначили время, за которое один первый принтер изготовит все детали.

Так как время не может быть отрицательным, подходит только \(\displaystyle x=2{\small .}\)

В задаче спрашивают, за какое время сделает всю работу второй принтер, то есть нужно найти \(\displaystyle x+1{\small .}\)

Тогда второй принтер изготовит все детали за \(\displaystyle x+1=3\) часа.

Ответ: \(\displaystyle 3\) часа.