1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).
Примем весь объём работ (задание) за \(\displaystyle 1{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle {x}\) часов – время, за которое первый рабочий выполнит задание в одиночку.
По условию, на выполнение задания первому рабочему
- требуется на \(\displaystyle 12\) часов меньше, чем второму,
- на \(\displaystyle 4\) часа больше, чем обоим рабочим при совместной работе.
То есть время работы второго рабочего и двух рабочих вместе можно легко выразить через время работы первого.
Поэтому в качестве переменной удобно выбрать время, за которое один первый рабочий выполнит задание.
Второму рабочему для выполнения задания нужно на \(\displaystyle 12\) часов больше, то есть \(\displaystyle {x+12}\) часов,
По условию, на выполнение задания первому рабочему требуется на \(\displaystyle 12\) часов меньше, чем второму.
Значит, второму рабочему требуется на \(\displaystyle 12\) часов больше, чем первому, то есть
\(\displaystyle x+12\) часов.
а двум рабочим вместе – на \(\displaystyle 4\) часа меньше, то есть \(\displaystyle {x-4}\) часов.
По условию, первому рабочему на выполнение задания требуется на \(\displaystyle 4\) часа больше, чем двум рабочим вместе.
То есть вместе рабочие справятся с заданием на \(\displaystyle 4\) часа быстрее, чем один первый:
за \(\displaystyle x-4\) часов.
Тогда
- первый рабочий за час выполнит \(\displaystyle {\frac{1}{x}}{\small}\) часть задания,
- второй рабочий за час выполнит \(\displaystyle {\frac{1}{{x+12}}}{\small}\) часть задания.
Значит, работая вместе, рабочие за час выполнят
- если подсчитать одним способом: \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{{x+12}}\) часть задания,
- если подсчитать другим способом: \(\displaystyle \frac{1}{{x-4}}\) часть задания.
Составим уравнение:
\(\displaystyle \boxed{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x+12}} =\frac{1}{{x-4}}{\small .}}\)
2. Решим полученное уравнение.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведём их к общему знаменателю.
Получим:\(\displaystyle \frac{x^2 - 8x - 48}{x(x+12)(x-4)} = 0{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} - \frac{1}{x-4} = 0{\small ,}\\[-5px]\)
\(\displaystyle \frac{(x+12)(x-4) + x(x-4) - x(x+12)}{x(x+12)(x-4)} = 0{\small ,}\\[-5px]\)
\(\displaystyle \frac{x^2 - 4x + 12x - 48 + x^2 - 4x - x^2 - 12x}{x(x+12)(x-4)} = 0{\small ,}\\[-5px]\)
\(\displaystyle \frac{x^2 - 8x - 48}{x(x+12)(x-4)} = 0{\small .}\)
Данное уравнение равносильно системе
\(\displaystyle \begin{cases} x^2 - 8x - 48 = 0,\\ x(x+12)(x-4) =\not 0{\small .}\end{cases} \)
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2 - 8x - 48 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x=12\) и \(\displaystyle x=-4{\small . }\)
Найдем дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}=(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256{\small ,}\\[-5px]\)
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{256}=16{\small .}\)
Значит, корни уравнения равны
\(\displaystyle x_1=\dfrac{8+16}{2}=\dfrac{24}{2}=12{\small ,}\\[-5px]\)
\(\displaystyle x_2=\dfrac{8-16}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4{\small .}\)
\(\displaystyle x(x+12)(x-4) =\not 0\) при \(\displaystyle x =\not 0\), \(\displaystyle x =\not -12\) и \(\displaystyle x =\not 4{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle x(x+12)(x-4) =\not 0{ \small :}\)
| \(\displaystyle x =\not 0\), | \(\displaystyle x+12 =\not 0{ \small ,}\) | \(\displaystyle x-4 =\not 0{ \small ,}\) |
| | \(\displaystyle x =\not -12{\small ,}\) | \(\displaystyle x =\not 4{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=12{ \small ,}\, \,x=-4{\small , } \\[5px] x =\not 0{ \small ,}\, x =\not -12{ \small ,}\, x =\not 4{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle x=12\) и \(\displaystyle x=-4{\small }\) являются решениями системы, а значит, и исходного уравнения.
Так как
\(\displaystyle 12 \neq 0,\quad 12 \neq -12,\quad 12 \neq 4{ \small ,}\)
и
\(\displaystyle -4 \neq 0,\quad -4 \neq -12,\quad -4 \neq 4{ \small ,}\)
то \(\displaystyle x=12\) и \(\displaystyle x=-4\) являются решениями системы, а значит, и исходного уравнения.
3. Ответим на вопрос задачи.
За \(\displaystyle x\) обозначили время, за которое первый рабочий выполнит задание один. Его и требовалось найти.
Так как время не может быть отрицательным, подходит только \(\displaystyle x=12{\small . }\)
При этом второй рабочий в одиночку выполнит задание за \(\displaystyle x+12 = 24\) часа, а рабочие вместе – за \(\displaystyle x-4 = 8\) часов.
Ответ: \(\displaystyle 12\) часов.