На сторонах прямоугольного сектора, как на диаметрах, построили окружности. Найдите площадь красной фигуры, если площадь синей равна \(\displaystyle 3\pi\small.\)
Обозначим точки на рисунке. Точки \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle E\) – центры проведенных окружностей, а также середины отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\small.\) Обозначим за \(\displaystyle R\) радиус окружности с центром в \(\displaystyle O\small.\) Тогда радиус окружности с центром в \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle 2R\small,\) а радиус окружности с центром в \(\displaystyle E\) равен \(\displaystyle R\small.\) |  |
Чтобы решить задачу:
- выразим площадь сектора \(\displaystyle ABC\) через \(\displaystyle R{\small;}\)
- выразим площади полукругов с центрами в \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle E\) через \(\displaystyle R{\small;}\)
- запишем уравнение, связывающее площади всех частей изображенной фигуры.
1. Площадь сектора радиуса \(\displaystyle 2R\small,\) ограниченного дугой \(\displaystyle 90^{\circ}{ \small ,}\) равна
\(\displaystyle S_{сектора\,ABC}=\frac{\pi (2R)^2}{360}\cdot90=\pi R^2\small.\)
2. Площадь круга радиуса \(\displaystyle R\) равна
\(\displaystyle S=\pi R^2\small.\)
Тогда площади полукругов с центрами в \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle E\) равны
\(\displaystyle S_{полукруга}=\frac{\pi R^2}{2}\small.\)
3. Сектор \(\displaystyle ABC\) можно получить, если к сумме двух полукругов прибавить красную часть и вычесть синее пересечение.
То есть для площадей это означает:
\(\displaystyle S_{сектора\,ABC}=S_{полукруга}+S_{полукруга}+S_{красной\,части}-S_{синей\,части}\small.\)
Подставляя найденные значения, получаем:
\(\displaystyle \pi R^2=\frac{\pi R^2}{2}+\frac{\pi R^2}{2}+S_{красной\,части}-S_{синей\,части}\small.\)
Сокращая в левой и правой части слагаемое \(\displaystyle \pi R^2\small,\) получаем:
\(\displaystyle 0=S_{красной\,части}-S_{синей\,части}\small.\)
То есть
\(\displaystyle S_{красной\,части}=S_{синей\,части}=3\pi\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S_{красной\,части}=3\pi\small.\)