Skip to main content

Теория: 12 Применение признаков и свойств параллельных прямых (короткая версия)

Задание

В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) угол при вершине \(\displaystyle C\) в три раза меньше угла при вершине \(\displaystyle D{\small .}\)

Величины трёх отмеченных на рисунке углов известны:

\(\displaystyle \angle DAB=63\degree {\small ,\;}~~\angle ABD=34\degree ~\) и \(\displaystyle ~\angle CBD=83\degree {\small .}\)

Найдите величину угла \(\displaystyle BDC{\small .}\)

\(\displaystyle \angle BDC=\)\(\displaystyle \degree \)

Решение

1. Обратим внимание на то, что сумма данных в условии величин углов равна \(\displaystyle 180\degree \!{\small .}\) Из-за этого параллельны прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)

Величина угла \(\displaystyle ABC\) равна сумме величин его частей:

\(\displaystyle \angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=34\degree +83\degree =117\degree {\small .}\)

Сумма величин углов \(\displaystyle BAD\) и \(\displaystyle ABC\) составляет \(\displaystyle 180\degree {\text :}\)

\(\displaystyle \angle BAD+\angle ABC=63\degree +117\degree =180\degree {\small .}\)

И эти углы являются односторонними при пересечении прямых \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) секущей \(\displaystyle AB{\small .}\)

Если сумма величин односторонних углов при пересечении двух прямых секущей равна \(\displaystyle 180\degree {\small ,}\) то прямые параллельны.

Значит, прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) параллельны.

2. Воспользуемся свойством величин односторонних углов при параллельных прямых для вычисления величины угла \(\displaystyle ADC{\small .}\) 

Рассмотрим углы при пересечении параллельных прямых \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) секущей \(\displaystyle CD{\small .}\)

Сумма величин односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна \(\displaystyle 180\degree {\text :}\)

\(\displaystyle \angle ADC+\angle BCD=180\degree {\small .}\)

По условию угол \(\displaystyle ADC\) в три раза больше угла \(\displaystyle BCD{\small .}\) Это можно выразить равенством:

\(\displaystyle \angle ADC=3\cdot\angle BCD{\small .}\)

И подставить это равенство в равенство для суммы величин односторонних углов:

\(\displaystyle 4\cdot\angle BCD=180\degree {\small .}\)

Выражаем величины углов \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle ADC{\text :}\)

\(\displaystyle \angle BCD=\frac{180\degree }{4}=45\degree {\small ,}\)

\(\displaystyle \angle ADC=3\cdot 45\degree =135\degree {\small .}\)

3. Воспользуемся свойством накрест лежащих углов при параллельных прямых для вычисления величины угла \(\displaystyle ADB{\small .}\) 

Рассмотрим углы при пересечении параллельных прямых \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) секущей \(\displaystyle BD{\small .}\)

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.

Значит,

\(\displaystyle \angle ADB=\angle CBD=83\degree {\small .}\)

4. Остаётся найти величину искомого угла как части известного угла \(\displaystyle ADC{\small .}\)

Найдены величины самого угла \(\displaystyle ADC\) и его части \(\displaystyle ADB{\small .}\)

Величину неизвестной части можно найти, вычитая из одной другую:

\(\displaystyle \angle BDC=\angle ADC-\angle ADB=135\degree -83\degree =52\degree {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle BDC=52\degree {\small .}\)