Преобразуйте систему линейных уравнений к более простому виду и решите её:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ x+2y=&8{\small . } \end{aligned} \right. \)
\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).
Заметим, что если умножить второе уравнение на \(\displaystyle 3{\small ,}\) то в нем будет \(\displaystyle 3x{\small ,}\) а в первом уравнении \(\displaystyle -3x{\small .}\) Тогда, используя метод сложения, мы сможем исключить переменную \(\displaystyle x\) (например, из второго уравнения).
Умножим второе уравнение на \(\displaystyle 3{\small , } \) а затем прибавим к нему первое уравнение.
Сначала умножим в данной системе обе части второго уравнения \(\displaystyle x+2y=8 \) на \(\displaystyle 3{\small : } \)
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ \color{blue}{ 3}\cdot (x+2y\,)=&\color{blue}{ 3}\cdot 8{\small . } \end{aligned} \right. \)
Раскроем скобки во втором уравнении:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ \color{blue}{ 3}\cdot x+\color{blue}{ 3}\cdot 2y=&\color{blue}{ 3}\cdot 8{\small . } \end{aligned} \right. \)
Перемножая, получаем систему:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ 3x+6y=&24{\small . } \end{aligned} \right. \)
Так как в первом уравнении есть \(\displaystyle -3x{\small ,}\) а во втором уравнении \(\displaystyle 3x{\small ,}\) то прибавим ко второму уравнению первое. Для этого к каждой части второго уравнения прибавим соответствующую часть первого уравнения:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ -3x+4y}=&\color{blue}{ 6}{\small , }\\ \color{green}{ 3x+6y}=&\color{green}{ 24}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ -3x+4y}=&\color{blue}{ 6}{\small , }\\ \color{green}{ 3x+6y}+(\color{blue}{ -3x+4y}\,)=&\color{green}{ 24}+\color{blue}{ 6}{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ 3x+6y-3x+4y=&24+6{\small . } \end{aligned} \right. \)
Приведем во втором уравнении подобные:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ \color{blue}{ 3x}+\color{green}{ 6y}-\color{blue}{ 3x}+\color{green}{ 4y}=&24+6{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ \color{green}{ 10y}=&30{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Мы исключили из второго уравнения переменную \(\displaystyle x{\small . } \) Решим теперь получившуюся систему уравнений.
Для этого сначала найдем значение \(\displaystyle y\) из второго уравнения:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ \color{green}{ 10y}=&30{\small . } \end{aligned} \right. \)
Поделим обе части второго уравнения на \(\displaystyle 10{\small :}\)
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3x+4y=&6{\small , }\\ \color{green}{ y}=&3{\small . } \end{aligned} \right. \)
Таким образом, система уравнений имеет решение:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \bf x=&\bf 2{\small , }\\ \bf y=&\bf 3{\small . } \end{aligned} \right. \)
Ответ: \(\displaystyle x=2{\small ,}\)\(\displaystyle y=3{\small .}\)