Преобразуйте систему линейных уравнений к более простому виду и решите её:
\(\displaystyle \begin{cases}\color{blue}{\dfrac{1}{5}}x-{\dfrac{3}{5}}y=\color{blue}{ \dfrac{9}{5}}{\small , }\\[10px]\color{green}{\dfrac{2}{3}}x+{\dfrac{2}{3}}y=\color{green} {\dfrac{2}{3}}{\small . }\end{cases}\)
\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).
Сначала приведем систему к более простому виду.
Для этого избавимся от числовых дробей в обоих уравнениях, умножив первое уравнение на \(\displaystyle 5{\small , } \) а второе уравнение на \(\displaystyle 3{\small : } \)
\(\displaystyle \begin{cases}\color{blue}{ 5}\cdot \left({\dfrac{1}{5}}x-{\dfrac{3}{5}}y\right)=\color{blue}{ 5}\cdot { \dfrac{9}{5}}{\small , }\\[10px]\color{green}{3}\cdot \left({\dfrac{2}{3}}x+{\dfrac{2}{3}}y\right)=\color{green}{3}\cdot {\dfrac{2}{3}}{\small . }\end{cases}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \begin{cases}\color{blue}{ 5}\cdot {\dfrac{1}{5}}x-\color{blue}{ 5}\cdot {\dfrac{3}{5}}y=\color{blue}{ 5}\cdot {\dfrac{9}{5}}{\small , }\\[10px]\color{green}{3}\cdot {\dfrac{2}{3}}x+\color{green}{3}\cdot {\dfrac{2}{3}}y=\color{green}{3}\cdot {\dfrac{2}{3}}{\small . }\end{cases}\)
Перемножим числа:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3y=&9{\small , }\\2x+2y=&2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим теперь полученную систему уравнений.
Если умножить первое уравнение на \(\displaystyle 2{\small ,} \) то и в первом, и во втором уравнениях будет \(\displaystyle 2x{\small . }\) Тогда методом вычитания можно будет исключить переменную \(\displaystyle x \) (например, из первого уравнения).
Умножим первое уравнение на \(\displaystyle 2{\small : } \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 2}\cdot (x-3y\,)=&\color{blue}{ 2}\cdot 9{\small , }\\2x+2y=&2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 2}\cdot x-\color{blue}{ 2}\cdot 3y=&\color{blue}{ 2}\cdot 9{\small , }\\2x+2y=&2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Перемножим числа:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-6y=&18{\small , }\\2x+2y=&2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Теперь и в первом, и во втором уравнениях есть \(\displaystyle 2x{\small . } \) Исключим переменную \(\displaystyle x \) из первого уравнения, вычтя из него второе:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2x-6y}=&\color{blue}{ 18}{\small , }\\ \color{green}{ 2x+2y}=&\color{green}{ 2}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2x-6y}-(\color{green}{ 2x+2y}\,)=&\color{blue}{ 18}-\color{green}{ 2}{\small , }\\ \color{green}{ 2x+2y}=&\color{green}{ 2}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
Раскроем скобки и приведем подобные в первом уравнении:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 2x}-\color{green}{ 6y}-\color{blue}{ 2x}-\color{green}{ 2y}=&18-2{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -\color{green}{ 8y}=&16{\small , }\\ 2x+2y=&2{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Найдем значение \(\displaystyle y \) из первого уравнения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{ y}=&-2{\small , }\\2x+2y=&2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Таким образом, система уравнений имеет решение:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\bf x=&\bf 3{\small , }\\\bf y=&\bf -2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Ответ: \(\displaystyle x=3{\small , }\)\(\displaystyle y=-2{\small . }\)