Skip to main content

Теория: 03 Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе

Задание

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) с прямым углом при вершине \(\displaystyle C\) проведена медиана \(\displaystyle CM{\small .}\)

Дополните таблицу возможных значений величин углов \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle BMC{\small .}\)

\(\displaystyle \angle BAC\)\(\displaystyle \angle BMC\)
\(\displaystyle 37\degree \)\(\displaystyle \degree \)
\(\displaystyle \degree \)\(\displaystyle 82\degree \)
\(\displaystyle \degree \)\(\displaystyle '\)\(\displaystyle 79\degree 20'\)
\(\displaystyle \alpha\)

 

Решение

1. Треугольник \(\displaystyle ACM\) является равнобедренным благодаря свойству медианы прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) отметим медиану \(\displaystyle CM\) как равную отрезкам, на которые она делит гипотенузу.

В треугольнике \(\displaystyle ACM\) стороны \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle CM\) равны. Иными словами, он равнобедренный с основанием \(\displaystyle AC{\small .}\)

2. Величину угла \(\displaystyle BMC\) можно выразить через \(\displaystyle \alpha\) как внешний угол треугольника \(\displaystyle AMC{\small .}\)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Значит, величина угла \(\displaystyle ACM\) равна \(\displaystyle \alpha{\text :}\)

\(\displaystyle \angle ACM=\angle CAM=\alpha{\small .}\)

Искомый угол является внешним углом треугольника \(\displaystyle AMC\) при вершине \(\displaystyle M{\small .}\)

Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин несмежных с ним углов треугольника.

Значит, величина угла \(\displaystyle BMC\) складывается из величин углов при основании треугольника \(\displaystyle ACM{\small :}\)

\(\displaystyle \angle BMC=\angle CAM+\angle ACM=\alpha+\alpha=2\alpha{\small .}\)
 

Это позволяет заполнить нижнюю строку таблицы:

\(\displaystyle \angle BMC=2\alpha{\small .}\)

Для заполнения таблицы пригодится и выражение \(\displaystyle \alpha\) через величину угла \(\displaystyle BMC{\text :}\)

\(\displaystyle \alpha=\frac{\angle BMC}{2}\)

3. Заполним остальные строки таблицы, подставляя в полученные равенства возможные величины углов.

Для первой строки:

\(\displaystyle \angle BMC=2\cdot 37\degree=\)\(\displaystyle 74\degree {\small .}\)

Для  второй строки:

\(\displaystyle \alpha=\frac{82\degree }{2}=\)\(\displaystyle 41\degree {\small .}\)

Для третьей строки:

\(\displaystyle \alpha=\frac{79\degree 20'}{2}=\frac{79\degree }{2}+\frac{20'}{2}=39\degree 30'+10'=\)\(\displaystyle 39\degree 40'{\small .}\)

Ответ: