В треугольнике \(\displaystyle ABC\) медиана \(\displaystyle AM\) равна половине стороны \(\displaystyle BC{\small .}\)
Требуется доказать, что треугольник \(\displaystyle ABC\) прямоугольный.
В одной из возможных схем доказательства промежуточные утверждения пронумерованы. Подберите обоснования для этих утверждений, подходящие по логике доказательства.
Обозначим через \(\displaystyle \beta\) и \(\displaystyle \gamma\) величины углов треугольника при вершинах \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) соответственно.
\(\displaystyle \begin{cases}~~{\textcolor{red}1}{\small\textcolor{red} .}~\angle BAM=\beta\\ ~~{\textcolor{red}2}{\small\textcolor{red} .}~\angle CAM=\gamma \end{cases}~~~~{\LARGE \Rightarrow}~~~~ {\textcolor{red}3}{\small\textcolor{red} .}~\angle BAC=\beta+\gamma~~~~{\LARGE \Rightarrow}~~~~{\textcolor{red}4}{\small\textcolor{red} .}~2\beta+2\gamma=180\degree{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle \beta+\gamma=90\degree{\small ,}\) то угол \(\displaystyle BAC\) прямой.
| \(\displaystyle {\textcolor{red}1}{\small\textcolor{red} .}\) | |
| \(\displaystyle {\textcolor{red}2}{\small\textcolor{red} .}\) | |
| \(\displaystyle {\textcolor{red}3}{\small\textcolor{red} .}\) | |
| \(\displaystyle {\textcolor{red}4}{\small\textcolor{red} .}\) |
Восстановим доказательство, подбирая подходящие варианты ответов по ходу рассуждений.
Для того чтобы выразить величину угла \(\displaystyle BAM{ \small ,}\) удобно воспользоваться свойством равнобедренного треугольника \(\displaystyle ABM{\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Это углы, расположенные напротив равных сторон \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BM{\small :}\)
\(\displaystyle \angle BAM=\angle ABM=\beta{\small .}\)
Заполняем верхнюю строку таблицы ссылкой на свойство углов равнобедренного треугольника.
Для того чтобы выразить величину угла \(\displaystyle CAM{ \small ,}\) применим то же свойство равнобедренного треугольника, на этот раз в треугольнике \(\displaystyle ACM{\text :}\)
\(\displaystyle \angle CAM=\angle ACM=\gamma{\small .}\)
Заполняем вторую строку таблицы ссылкой на свойство углов равнобедренного треугольника.
Величины двух частей, на которые разбит угол \(\displaystyle BAC{ \small ,}\) выражены через \(\displaystyle \beta\) и \(\displaystyle \gamma{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BAM=\beta{\small ,\;}~~\angle CAM=\gamma{\small .}\)
Величина угла \(\displaystyle BAC\) складывается из величин этих углов, так как это две части, на которые он разбит:
\(\displaystyle \angle BAC=\angle BAM+\angle CAM=\beta+\gamma{\small .}\)
Третья строка таблицы заполняется ссылкой на соотношение величины угла и величин его частей.
Все три угла треугольника \(\displaystyle ABC\) выражены через \(\displaystyle \beta\) и \(\displaystyle \gamma{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Запишем это ввиде равенства для углов треугольника \(\displaystyle ABC{\text :}\)
\(\displaystyle \angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180\degree {\small .}\)
Подставив вместо углов выражение их величин, получим
\(\displaystyle 2\beta+2\gamma=180\degree {\small .}\)
Зафиксируем в четвёртой строке таблицы, что это равенство получено благодаря теореме о сумме углов треугольника.
Затем разделим это равенство на два.
Оказывается, что
\(\displaystyle \beta+\gamma=90\degree {\small .}\)
А это как раз величина угла \(\displaystyle BAC{\small .}\) Поэтому треугольник \(\displaystyle ABC\) прямоугольный.
| Ответ: |  |