Четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\small,\) показанный на рисунке, отразили относительно его диагонали \(\displaystyle BD\small.\) Найдите площадь пересечения исходного четырёхугольника и отражённого, если сторона одной клетки равна \(\displaystyle 1\small.\)
Построим точки, симметричные точкам \(\displaystyle A,\,B,\,C,\,D\) относительно прямой \(\displaystyle BD\small.\)
Точки \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) лежат на прямой \(\displaystyle BD\small,\) значит, неподвижны при симметрии относительно \(\displaystyle BD\small.\)
Расстояния от точки \(\displaystyle B\) до прямых \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) равны.
Значит, \(\displaystyle BD\) – биссектриса угла \(\displaystyle ADC\small.\)
- найти расстояние от \(\displaystyle X\) до вершины угла,
- найти точку, удаленную на то же расстояние от вершины, на другой стороне угла.
Тогда строим точки, симметричные точкам \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small:}\)
Получаем симметричный четырехугольник \(\displaystyle A_1BC_1D{\small:}\)
Пересечением \(\displaystyle ABCD\) и \(\displaystyle A_1BC_1D\) является квадрат со стороной \(\displaystyle 2\small.\) То есть площадь пересечения равна
\(\displaystyle S=2^2=4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S=4\small.\)