Синий треугольник, изображенный на картинке, отразили относительно прямой, проходящей через середины отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\small.\) Найдите площадь общей части исходного и отражённого треугольников, если сторона клетки равна \(\displaystyle 1\small.\)
Соединяя точки \(\displaystyle A_1,\,B_1,\,C_1\small,\) получаем симметричный треугольник.
(Отметим, что точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) лежат на оси симметрии и поэтому неподвижны.)
\(\displaystyle S=\frac{2}{3}\small.\)
Обозначим точки \(\displaystyle X\) и \(\displaystyle Y\small.\) Пересечение треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) состоит из симметричных треугольников \(\displaystyle XNM\) и \(\displaystyle YNM\small.\)
Параллельные прямые отсекают от угла подобные треугольники, то есть \(\displaystyle XNM\) подобен \(\displaystyle A_1N_1M\small.\) Причем коэффициент подобия равен: \(\displaystyle k=\frac{MN}{MN_1}=\frac{1}{3}\small.\) Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, то есть \(\displaystyle S_{XNM}=S_{A_1N_1M}\cdot k^2=\frac{S_{A_1N_1M}}{9}\small.\) Найдем площадь треугольника \(\displaystyle A_1N_1M{\small .} \) Она равна половине произведения высоты на основание: \(\displaystyle S_{A_1N_1M}=\frac{h\cdot MN_1}{2}=\frac{3\cdot 2}{2}=3\small.\) |
|
Значит,
\(\displaystyle S_{XNM}=\frac{S_{A_1N_1M}}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\small.\)
Тогда площадь пересечения треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) равна
\(\displaystyle S=2\cdot S_{XNM}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S=\frac{2}{3}\small.\)