Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) делят окружность на две дуги, длины которых относятся как \(\displaystyle 7:8{\small.}\) Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг.
\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
Пусть \(\displaystyle O\) – центр окружности.
На бóльшей и меньшей дугах \(\displaystyle AB\) отметим промежуточные точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle L\) соответственно.
\(\displaystyle \angle AOB={\small \smile}ALB{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}ALB+{\small \smile}ANB=360^{\circ}{\small.}\)
 | По условию \(\displaystyle {\small \smile}ALB:{\small \smile}ANB=7:8{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile}ALB=7t{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}ANB=8t{\small.}\) Тогда \(\displaystyle {\small \smile}ALB+{\small \smile}ANB=7t+8t=15t{\small.}\) |
Значит,
\(\displaystyle 15t=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle t=24^{\circ}{\small.}\)
Найдём длину дуги \(\displaystyle ALB{\small:}\)
\(\displaystyle {\small \smile}ALB=7t=7 \cdot 24^{\circ}=168^{\circ}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \angle AOB=168^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle AOB=168^{\circ}{\small.}\)