Измерили длины сторон двух треугольников. Периметр одного из них оказался больше периметра другого.
Распределите данные измерений сторон.
| Длины сторон треугольника с большим периметром: | |||
| Длины сторон треугольника с меньшим периметром: |
Задача сводится к тому, чтобы распределить числа в два набора по три числа. При этом числа каждого набора должны быть длинами сторон какого-то треугольника.
Длина каждой из сторон треугольника строго меньше суммы длин двух его других сторон.
На рисунке длины сторон треугольника обозначены буквами \(\displaystyle a{\small ,\;}b\) и \(\displaystyle c{\small .}\) Значит, выполненны три неравенства:
\(\displaystyle a<b+c{\small ,\;}~~~~~~b<a+c\) и \(\displaystyle c<a+b{\small .}\)
Часто бывает необходимо проверить, удовлетворяют ли три положительных числа трём рассматриваемым неравенствам. Если известно, что, например, \(\displaystyle a~-\) длина большего из трёх отрезков, достаточно проверить только неравенство для неё:
\(\displaystyle a<b+c{\small .}\)
Действительно, сама по себе большая сторона \(\displaystyle a\) не короче любой из других \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c{\small .}\) А в сумме с любой из них она длиннее оставшейся. То есть два из трёх неравенств выполняются "автоматически" и утверждение можно сформулировать конкретнее.
В произвольном треугольнике большая из длин сторон меньше суммы длин других сторон.
Если одна из сторон треугольника имеет длину \(\displaystyle 40\), то по правилу треугольника сумма длин двух других сторон должна быть больше \(\displaystyle 40{\small .}\)
Добиться этого невозможно, если не использовать в том же наборе сторону длиной \(\displaystyle 38{\small .}\) То есть отрезки длинами \(\displaystyle 40\) и \(\displaystyle 38\) являются длинами одного из треугольников.
Ясно, что это треугольник с большим периметром. Выбор длины третьей его стороны пока отложим: вариантов слишком много.
В треугольник с меньшим периметром мы можем отбирать оставшиеся стороны с длинами \(\displaystyle 21{\small ,\;}16{\small ,\;}10\) и \(\displaystyle 5{\small .}\)
Согласно неравенству треугольника, длина большей стороны этого треугольника должна быть короче суммы длин двух других сторон.
На роль большей стороны могут претендовать отрезки длин \(\displaystyle 21\) и \(\displaystyle 16{\small .}\) Но в обоих случаях сумма числа \(\displaystyle 5\) с длинами средних сторон не превосходит большей длины:
\(\displaystyle 5+10<16<21{\small ,\;}~~~~~5+16=21{\small .}\)
Значит, сторона длиной \(\displaystyle 5\) должна быть в первом треугольнике \(\displaystyle -\) треугольнике с большим периметром.
Это однозначно определяет и набор длин сторон для второго треугольника: \(\displaystyle 21{\small ,\;}16{\small ,\;}10{\small .}\)
В связи с тем, что доступное распределение длин сторон по треугольникам единственно, проверка реализуемости не требуется. В самом условии утверждается, что подходящие треугольники существуют.
| Ответ: |  |