Какие из правильных многоугольников имеют центр симметрии?
Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала рассмотрим правильные многоугольники с четным числом вершин, затем с нечетным.
1. Рассмотрим правильный многоугольник с четным числом вершин.
Диагонали, соединяющие противоположные вершины, проходят через центр многоугольника.
А также делятся этой точкой пересечения пополам.
Тогда центр многоугольника является его центром симметрии.
(При симметрии относительно центра каждая вершина переходит в противоположную.)
2. Рассмотрим правильный многоугольник с нечетным числом вершин.
Если многоугольник центрально-симметричен, то при симметрии его вершины переходят в вершины.
Ни одна из вершин многоугольника не является центром симметрии.
Значит, если у многоугольника есть центр симметрии, его вершины должны разбиваться на пары (в каждой паре точки меняются местами при симметрии).
Но нечетное число вершин нельзя разбить на пары. То есть у многоугольника с нечетным числом вершин нет центра симметрии.
Таким образом, среди предложенных вариантов центр симметрии имеют:
\(\displaystyle 8\)-угольник и \(\displaystyle 772\)-угольник.
Ответ: \(\displaystyle 8\)-угольник и \(\displaystyle 772\)-угольник.