На рисунке изображен квадрат и отмечен центр его описанной окружности.
Выберите все углы, при повороте на которые квадрат переходит в себя.
Обозначим центр описанной окружности квадрата как точку \(\displaystyle O\small.\)
Тогда образовавшиеся углы с вершиной \(\displaystyle O\) равны. То есть каждый из углов равен \(\displaystyle \frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}\small.\)
Значит, при повороте на \(\displaystyle 90^{\circ}\) и \(\displaystyle 180^{\circ}\) вершины квадрата переходят в вершины того же квадрата. То есть квадрат переходит в себя. |  |
А при повороте на углы \(\displaystyle 60^{\circ}\) и \(\displaystyle 45^{\circ}\) вершины квадрата не переходят в вершины квадрата.
Ответ: \(\displaystyle 90^{\circ}\) и \(\displaystyle 180^{\circ}\small.\)