Теория: 14 Применение свойств корня \(\displaystyle n\)-й степени для упрощения выражений (произведение и отношение арифметических корней разных степеней) (короткая версия)

Воспользуемся свойством 

\(\displaystyle \sqrt[nk\,]{ a^{mk}}=\sqrt[n\,]{ a^{m}}\) при \(\displaystyle a \geqslant 0 {\small,}\)\(\displaystyle n \in \N{\small,}\)\(\displaystyle k \in \N{\small,}\)\(\displaystyle m \in \N{\small}\)

для приведения корня четвёртой степени к корню восьмой степени:

\(\displaystyle \sqrt[4\,]{5}=\sqrt[\color{#9933ff}{4}\, ]{5^{\, \color{#009933}{1}}}= \sqrt[ \color{#9933ff}{4} \cdot\red2\, ] {5^{\,\color{#009933}{1} \cdot \red2 }}=\sqrt[8\,]{5^{\,2}}{\small.}\)

Воспользуемся свойством 

\(\displaystyle \sqrt[n\,]{ab}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}{\small}\) при \(\displaystyle a \geqslant 0 {\small,}\)\(\displaystyle b \geqslant 0{\small,}\)\(\displaystyle n \in \N{\small}\)

и получим:

\(\displaystyle \sqrt[8\,]{5^{\,2}} \cdot \sqrt[8] {5} =\sqrt[8\,]{5^{\,2} \cdot 5^1}=\sqrt[8\,]{5^{\,2+1}}=\sqrt[8\,]{5^{\,3}}{\small.}\)