Теория: 14 Применение свойств корня \(\displaystyle n\)-й степени для упрощения выражений (произведение и отношение арифметических корней разных степеней) (короткая версия)

\(\displaystyle \sqrt[nk\,]{ a^{mk}}=\sqrt[n\,]{ a^{m}}\) при \(\displaystyle a \geqslant 0 {\small,}\)\(\displaystyle n \in \N{\small,}\)\(\displaystyle k \in \N{\small,}\)\(\displaystyle m \in \N{\small}\)

\(\displaystyle \sqrt[3\,]{25}=\sqrt[\color{#9933ff}{3}\, ]{25^{\, \color{#009933}{1}}}= \sqrt[ \color{#9933ff}{3} \cdot\red2\, ] {25^{\,\color{#009933}{1} \cdot \red2 }}=\sqrt[6\,]{25^{\,2}}{\small.}\)

\(\displaystyle \sqrt{5}=\sqrt[\color{#9933ff}{2}\, ]{5^{\, \color{#009933}{1}}}= \sqrt[ \color{#9933ff}{2} \cdot\red3\, ] {5^{\,\color{#009933}{1} \cdot \red3 }}=\sqrt[6\,]{5^{\,3}}{\small.}\)

Воспользуемся свойством 

\(\displaystyle \sqrt[n\,]{ab}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}{\small}\) при \(\displaystyle a \geqslant 0 {\small,}\)\(\displaystyle b \geqslant 0{\small,}\)\(\displaystyle n \in \N{\small}\)

и получим:

\(\displaystyle \sqrt[6\,]{25^{\,2}} \cdot \sqrt[6] {5^3}=\sqrt[6\,]{25^{\,2} \cdot 5^3} {\small.}\)

Применим свойства степеней:

\(\displaystyle \sqrt[6\,]{25^{\,2} \cdot 5^3}=\sqrt[6\,]{\left(5^{\,2} \right)^{\,2} \cdot 5^3}=\sqrt[6\,]{5^{\,4} \cdot 5^3}=\sqrt[6\,]{5^{\,4+3} }=\sqrt[6\,]{5^{\,7}}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \sqrt[6\,]{25^{\,2}} \cdot \sqrt[6] {5^3}=\sqrt[6\,]{5^{\,7}}{\small.}\)

\(\displaystyle \sqrt[n\,]{\frac{a}{b}}={\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}{\small}\) при \(\displaystyle a \geqslant 0 {\small,}\)\(\displaystyle b > 0{\small,}\)\(\displaystyle n \in \N{\small}\)