Skip to main content

Теория: 16 Решение задач с помощью поворота (короткая версия)

Задание

Информация

Задача

Дан равносторонний треугольник \(\displaystyle ABC\) и произвольная точка \(\displaystyle M\small,\) отличная от \(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\small.\) Пусть \(\displaystyle MA\) – самый большой из отрезков \(\displaystyle MA\small,\) \(\displaystyle MB\) и \(\displaystyle MC\small.\)

Докажите, что  \(\displaystyle MA<MB+MC\small.\)

Заполните пропуски в решении задачи.

Информация

Решение

Чтобы решить задачу, выполним поворот так, чтобы отрезки \(\displaystyle MA\small,\) \(\displaystyle MB\) и \(\displaystyle MC\) оказались в одном треугольнике.

1. Выполним поворот плоскости вокруг точки \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle 60^\circ\small.\) В результате такого поворота:

  • точка \(\displaystyle A\) перейдет в точку 
  • точка \(\displaystyle C\) перейдет в точку 
  • точка \(\displaystyle M\) перейдет в точку \(\displaystyle M_1\small,\)
  • отрезок \(\displaystyle AM\) перейдет в отрезок , то есть \(\displaystyle AM=\)
  • отрезок \(\displaystyle CM\) перейдет в отрезок , то есть \(\displaystyle CM=\).

Покажем, что длины сторон треугольника \(\displaystyle MBM_1\)  равны \(\displaystyle MA\small,\) \(\displaystyle MB\) и \(\displaystyle MC\small.\)

 

    2. Треугольник – равносторонний. Следовательно,

    \(\displaystyle AM=\) \(\displaystyle =\) 

    3. В треугольнике \(\displaystyle MBM_1\) выполняется неравенство треугольника: 

    \(\displaystyle MM_1<\) \(\displaystyle +\) 

    4. Так как  \(\displaystyle =MA\small,\) а  \(\displaystyle =MC\small,\) выполняется неравенство:

    \(\displaystyle MA<MB+MC\small.\)

    Решение

    Чтобы решить задачу, выполним поворот так, чтобы отрезки \(\displaystyle MA\small,\) \(\displaystyle MB\) и \(\displaystyle MC\) оказались в одном треугольнике.

    1. Выполним поворот плоскости вокруг точки \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle 60^\circ\small.\) В результате такого поворота:

    • точка \(\displaystyle A\) перейдет в точку \(\displaystyle A\small,\)
    • точка \(\displaystyle C\) перейдет в точку \(\displaystyle B\small,\)
    • точка \(\displaystyle M\) перейдет в точку \(\displaystyle M_1\small,\)
    • отрезок \(\displaystyle AM\) перейдет в отрезок \(\displaystyle AM_1\small,\) то есть \(\displaystyle AM=AM_1\small,\)
    • отрезок \(\displaystyle CM\) перейдет в отрезок \(\displaystyle BM_1\small,\) то есть \(\displaystyle CM=BM_1\small.\)

    Покажем, что длины сторон треугольника \(\displaystyle MBM_1\)  равны \(\displaystyle MA\small,\) \(\displaystyle MB\) и \(\displaystyle MC\small.\)

    Для этого достаточно показать, что \(\displaystyle AM=MM_1{\small .} \)

     

      2. Треугольник \(\displaystyle AMM_1\) – равносторонний. Следовательно,

      \(\displaystyle AM=AM_1=MM_1\small.\)

      3. В треугольнике \(\displaystyle MBM_1\) выполняется неравенство треугольника: 

      \(\displaystyle MM_1<MB+M_1B\small.\) 

      4. Так как \(\displaystyle MM_1=MA\small,\) а \(\displaystyle BM_1=MC\small,\) выполняется неравенство:

      \(\displaystyle MA<MB+MC\small.\)