Skip to main content

Теория: 17 Задачи на поворот (короткая версия)

Задание

Квадрат со  стороной \(\displaystyle 1\) повернули вокруг его вершины на  угол \(\displaystyle 30^{\circ}\small.\) Найдите площадь общей части исходного и  повернутого квадратов.

\(\displaystyle S=\)
\frac{\sqrt{3}}{3}
Решение

Чтобы посчитать площадь фигуры в пересечении, разобьем ее отрезком на два треугольника.

Найдем площадь каждого из треугольников \(\displaystyle ABX\) и \(\displaystyle AD_1X\small.\)

Рассмотрим эти треугольники:

  • у них общая гипотенуза \(\displaystyle AX\small,\)
  • они прямоугольные \(\displaystyle \angle ABX=\angle AD_1X=90^{\circ}\small,\)
  • у них есть равные катеты \(\displaystyle AB=AD_1\small.\)

Тогда, по признаку равенства прямоугольных треугольников, \(\displaystyle \triangle ABX\) и \(\displaystyle \triangle AD_1X\) равны.

Найдем площадь одного из них.

 

Заметим, что

\(\displaystyle \angle D_1AB=\angle DAB-30^{\circ}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\small.\)

Треугольники  \(\displaystyle ABX\) и \(\displaystyle AD_1X\) равны, а значит,

\(\displaystyle \angle XAB=\angle XAD_1=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}\small.\)

Тогда площадь треугольника \(\displaystyle ABX\) равна

\(\displaystyle S_{ABX}=\frac{\sqrt{3}}{6}\small.\)

Площадь фигуры в пересечении равна сумме площадей треугольников:

\(\displaystyle S=S_{ABX}+S_{AD_1X}=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\small.\)


Ответ: \(\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{3}\small.\)