Точки \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C{\small,}\) расположенные на окружности, делят её на три дуги: \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC{\small,}\) градусные величины которых относятся как \(\displaystyle 1:4:5{\small.}\) Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)
\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
 | Точки \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) лежат на окружности так, что \(\displaystyle {\small \smile}AB:{\small \smile}BC:{\small \smile}AC=1:4:5{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile}AB=t{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BC=4t{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}AC=5t{\small.}\) |
Так как угол \(\displaystyle ACB\) опирается на дугу \(\displaystyle AB{\small,}\) то
\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2}{\small \smile}AB{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}AC=360^{\circ}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle t+4t+5t=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle 10t=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle t=36^{\circ}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle {\small \smile}AB=t=36^{\circ}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2}{\small \smile}AB=\frac{1}{2} \cdot 36^{\circ}=18^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 18^{\circ}{\small.}\)