Прямая \(\displaystyle AC\) касается окружности с центром \(\displaystyle O\) в точке \(\displaystyle A{\small .}\)
Хорда \(\displaystyle AB\) длиной \(\displaystyle 19\) пересекает отрезок \(\displaystyle CO\) длиной \(\displaystyle 24\) в точке \(\displaystyle D\) и делит его пополам.
Найдите длину отрезка \(\displaystyle BD{\small .}\)
\(\displaystyle BD=\)
Согласно правилу взаимного расположения прямой и окружности, прямая \(\displaystyle p\) является касательной к окружности с центром \(\displaystyle O\) в том случае, если расстояние до неё от центра окружности равно радиусу.
Чтобы найти это расстояние, проводят перпендикуляр \(\displaystyle OP\) из центра окружности на прямую. Если он равен радиусу, то его основание \(\displaystyle -\) единственная общая точка окружности и прямой.
Эту ситуацию можно использовать для формулировки как свойства касательной к окружности, так и для её признака.
Свойство касательной к окружности
Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый к точке их касания, перпендикулярен этой прямой.
Признак касательной к окружности
Если радиус, проведённый к общей точке окружности и прямой, перпендикулярен этой прямой, то она является касательной к этой окружности.
Радиус \(\displaystyle OA{\small ,}\) проведённый в точку \(\displaystyle A\) касания окружности с прямой \(\displaystyle AC{ \small ,}\) перпендикулярен этой прямой.
Значит, треугольник \(\displaystyle ACO\) прямоугольный с гипотенузой \(\displaystyle CO{ \small ,}\) а отрезок \(\displaystyle AD~-\) его медиана.
Проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника медиана равна половине этой гипотенузы.
Значит,
\(\displaystyle AD=\frac{CO}{2}=\frac{24}{2}=12{\small .}\)
Хорда \(\displaystyle AB\) составлена из частей \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BD{\small .}\)
Длина одной из них найдена. Найдём длину неизвестной части как разность длин хорды и её известной части:
\(\displaystyle BD=AB-AD=19-12=7{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle BD=7{\small .}\)