Одна из сторон угла с вершиной \(\displaystyle B\) пересекает окружность в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle D\) и проходит через её центр \(\displaystyle O{\small .}\)
Другая сторона этого угла касается окружности в точке \(\displaystyle C{\small .}\)
Дополните таблицу возможных значений величины угла \(\displaystyle BAC\) в зависимости от величины угла \(\displaystyle ABC{\small .}\)
| \(\displaystyle \angle ABC\) | \(\displaystyle \angle BAC\) |
| \(\displaystyle 20\degree \) | \(\displaystyle \degree \) |
| \(\displaystyle 24\degree 40'\) | \(\displaystyle \degree \)\(\displaystyle '\) |
| \(\displaystyle \degree \) | \(\displaystyle 34\degree \) |
| \(\displaystyle \beta\) |
Согласно правилу взаимного расположения прямой и окружности, прямая \(\displaystyle p\) является касательной к окружности с центром \(\displaystyle O\) в том случае, если расстояние до неё от центра окружности равно радиусу.
Чтобы найти это расстояние, проводят перпендикуляр \(\displaystyle OP\) из центра окружности на прямую. Если он равен радиусу, то его основание \(\displaystyle -\) единственная общая точка окружности и прямой.
Эту ситуацию можно использовать для формулировки как свойства касательной к окружности, так и для её признака.
Свойство касательной к окружности
Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый к точке их касания, перпендикулярен этой прямой.
Признак касательной к окружности
Если радиус, проведённый к общей точке окружности и прямой, перпендикулярен этой прямой, то она является касательной к этой окружности.
Будем использовать обозначения \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \beta\) для величин искомого и данного углов соответственно.
Проведём радиус \(\displaystyle OC\) в точку касания окружности и прямой \(\displaystyle BC{\small .}\) Отметим на рисунке равные радиусы.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит, равны углы при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) равнобедренного треугольника \(\displaystyle ACO{\text :}\)
\(\displaystyle \angle ACO=\angle CAO=\alpha{\small .}\)
По свойству касательной, угол \(\displaystyle BCO\) прямой:
\(\displaystyle \angle BCO=90\degree {\small .}\)
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Это позволяет выразить величину угла при вершине \(\displaystyle O\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle BCO{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BOC=90\degree -\angle CBO=90\degree -\beta{\small .}\)
Этот угол также является внешним углом треугольника \(\displaystyle AOC{\small .}\)
Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух несмежных с ним углов треугольника.
Значит,
\(\displaystyle \angle BOC=\angle ACO+\angle CAO=2\alpha{\small .}\)
Приравняв два выражения для угла \(\displaystyle BOC{\small ,}\) получим равенство:
\(\displaystyle 2\alpha=90\degree -\beta{\small .}\)
Из него выразим величину \(\displaystyle \alpha\) через \(\displaystyle \beta\) и величину \(\displaystyle \beta\) через \(\displaystyle \alpha{\text :}\)
\(\displaystyle \alpha=45\degree -\frac{\beta}{2}\) и \(\displaystyle \beta=90\degree -2\alpha{\small .}\)
Левое выражение позволяет заполнить нижнюю строку таблицы.
Для первой строки:
\(\displaystyle \angle BAC=45\degree -\frac{\beta}{2}=45\degree -\frac{20\degree}{2}=35\degree {\small .}\)
Для второй строки:
\(\displaystyle \angle BAC=45\degree -\frac{\beta}{2}=45\degree -\frac{24\degree 40'}{2}=32\degree 40'{\small .}\)
Для третьей строки:
\(\displaystyle \angle ABC=90\degree -2\alpha=90\degree -2\cdot 34\degree =22\degree {\small .}\)
| Ответ: |  |