В треугольник \(\displaystyle ABC\) вписана окружность.
Точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – её общие точки со сторонами \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) соответственно.
Известны длины четырёх отрезков:
\(\displaystyle AM=73{\small ,\;}BM=20{\small ,\;}AN=73{\small ,\;}CN=59{\small .}\)
Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
\(\displaystyle P_{ABC}=\)
Для любого треугольника существует единственная окружность, касающаяся всех трёх его сторон. Такая окружность называется вписанной в треугольник.
Эта окружность касается всех трёх прямых, содержащих стороны треугольника, в точках этих сторон.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольный треугольник.
Биссектрисы его углов пересекаются в единственной точке \(\displaystyle O\) и образуют острые углы со сторонами.
Следовательно, перпендикуляры из точки \(\displaystyle O\) к прямым, содержащим стороны треугольника, пересекают эти прямые в точках, принадлежащим сторонам.
Эти перпендикуляры равны друг другу, так как все точки биссектрис равноудалены от сторон соответствующих углов.
Окружность с центром \(\displaystyle O\) и радиусом, равным длине этих перпендикуляров, касается сторон треугольника по признаку касательной: стороны перпендикулярны её радиусам.
Вписанная окружность единственна, так как перпендикуляры, опущенные из её центра на стороны треугольника, должны быть равны по свойству касательной. А точка пересечения биссектрис \(\displaystyle -\) единственная точка внутри треугольника, равноудалённая от всех его сторон.
Отметим на стороне \(\displaystyle BC\) точку \(\displaystyle L\) касания с окружностью.
Отрезки проведённых из одной точки касательных от этой точки до точки касания равны.
Отметим на рисунке три пары таких равных отрезков:
\(\displaystyle AM=AN{\small ,\;}BL=BM\) и \(\displaystyle CL=CN{\small .}\)
Периметр треугольника \(\displaystyle -\) сумма длин всех его сторон.
Представим длину каждой стороны как сумму длин двух частей:
\(\displaystyle P_{ABC}=AB+BC+AC=AM+BM+BL+CL+CN+AN{\small .}\)
В этом выражении заменим длины отрезков, не данные в условии, на известные длины равных им отрезков:
\(\displaystyle P_{ABC}=AM+BM+BM+CN+CN+AN=73+20+20+59+59+73=304{\small.}\)
Ответ: периметр треугольника \(\displaystyle ABC\) равен \(\displaystyle 304{\small .}\)