В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) длины катетов составляют \(\displaystyle AC=12\) и \(\displaystyle BC=35{\small ,}\) а радиус \(\displaystyle r\) вписанной окружности равен \(\displaystyle 5{\small .}\)
Какова длина гипотенузы?
\(\displaystyle AB=\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине \(\displaystyle C\) вместе с вписанной в него окружностью.
Пусть \(\displaystyle G\) и \(\displaystyle H~-\) точки касания окружности с катетами \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC\) соответственно.
Радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен касательной.
Значит, углы \(\displaystyle CGO\) и \(\displaystyle CHO\) прямые.
Центр вписанной окружности принадлежит всем биссектрисам треугольника.
Значит, отрезок \(\displaystyle CO\) – часть биссектрисы прямого угла \(\displaystyle ACB{\small .}\) То есть величины углов \(\displaystyle GCO\) и \(\displaystyle HCO\) равны по \(\displaystyle 45\degree {\small .}\)
Оба треугольника \(\displaystyle CGO\) и \(\displaystyle CHO\) прямоугольные с острым углом величиной \(\displaystyle 45\degree {\small .}\) Иными словами, это равнобедренные прямоугольные треугольники.
Их катеты \(\displaystyle CG\) и \(\displaystyle CH\) равны отрезкам \(\displaystyle OG\) и \(\displaystyle OH~-\) радиусам вписанной окружности:
\(\displaystyle CG=CH=5{\small .}\)
Добавим на рисунок точку \(\displaystyle F\) касания окружности с гипотенузой и отметим полученные равные отрезки.
Гипотенуза составлена из двух частей \(\displaystyle AF\) и \(\displaystyle BF{ \small ,}\) соответственно равных отрезкам \(\displaystyle AH\) и \(\displaystyle BG\) катетов треугольника.
А каждый из последних короче соответствующего ему катета на величину радиуса:
\(\displaystyle AF=AH=AC-CH=12-5=7{\small ,}\)
\(\displaystyle BF=BG=BC-CG=35-5=30{\small .}\)
Значит, длина гипотенузы составляет:
\(\displaystyle AB=AF+BF=7+30=37{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle AB=37{\small .}\)