Вершины треугольника \(\displaystyle ABC\) и центр \(\displaystyle O\) вписанной в него окружности попали на пересечения линий разметки клетчатой бумаги.
Каково расстояние в миллиметрах от точки \(\displaystyle O\) до прямой \(\displaystyle AC{ \small ,}\) если сторона клетки равна \(\displaystyle 1{\footnotesize\it см}\)?
\(\displaystyle r=\)\(\displaystyle {\footnotesize\it мм}\)
Три биссектрисы треугольника имеют общую точку.
Это следует из того, что биссектриса угла является геометрическим местом точек, лежащих внутри угла и равноудалённых от его сторон.
Пусть \(\displaystyle O\) – точка пересечения двух биссектрис треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) проведённых, например, из вершин \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small .}\) Тогда равны расстояния
- от точки \(\displaystyle O\) до сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small ,}\)
- от точки \(\displaystyle O\) до сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
Тогда точка \(\displaystyle O \) равноудалена от сторон \(\displaystyle AB \) и \(\displaystyle BC{\small ,\;}\) а значит, принадлежит биссектрисе, проведённой из вершины \(\displaystyle B{\small .}\)
То есть точка \(\displaystyle O \) – точка пересечения всех трех биссектрис треугольника.
Обратим внимание, что точка пересечения биссектрис равноудалена ото всех сторон треугольника.
Это приводит к тому, что точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.
Расстояния от точки \(\displaystyle O\) до сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC\) должны быть равными.
Проведём перпендикуляры и отметим их как равные отрезки.
Расстояние от точки \(\displaystyle O \) до стороны \(\displaystyle BC\) равно двум сантиметрам. Значит, и расстояние до стороны \(\displaystyle AC\) такое же.
Поскольку ответ требуется в миллиметрах, умножаем эту величину на \(\displaystyle 10{\small ,}\) помня, что в одном сантиметре содержится \(\displaystyle 10\) миллиметров.
Ответ: искомое расстояние равно \(\displaystyle 20\) миллиметрам.