Все вершины четырёхугольника \(\displaystyle ABCD\) принадлежат одной кружности. Угол при вершине \(\displaystyle D\) прямой, а величины углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) соотносятся как \(\displaystyle 5:7{\small .}\)
Найдите величины углов при вершинах \(\displaystyle A{\small ,\;}B\) и \(\displaystyle C{\small .}\)
\(\displaystyle \angle A=\)\(\displaystyle \degree \) \(\displaystyle \angle B=\)\(\displaystyle \degree \) \(\displaystyle \angle C=\)\(\displaystyle \degree \)
Содержащая вершины четырёхугольника окружность, является описанной для каждого треугольника с вершинами в трёх из них. Чтобы найти центр окружности достаточно найти центр окружности, описанной около любого из таких треугольников.
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ACD{\small .}\)
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине.
Значит середина \(\displaystyle O\) гипотенузы \(\displaystyle AC\) является точкой, равноудалённой от вершин \(\displaystyle A{\small ,\;}C\) и \(\displaystyle D{\small .}\)
Единственной точкой, равноудалённой от вершин треугольника, является центр описанной около него окружности.
Значит, точка \(\displaystyle O~-\) центр рассматриваемой окружности.
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small ,}\) составленный из двух равнобедренных треугольников \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle BCO{\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Обозначим величину равных углов при основании треугольника \(\displaystyle ABO\) через \(\displaystyle \alpha{\small ,}\) а величину углов при основании треугольника \(\displaystyle BCO\) через \(\displaystyle \gamma{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BAO=\angle ABO=\alpha{\small ,\;}\) \(\displaystyle \angle CBO=\angle BCO=\gamma{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree{\small.}\)
Выпишем равенства для сумм углов обоих равнобедренных треугольников:
\(\displaystyle 2\alpha+\angle AOB=180\degree \) и \(\displaystyle 2\gamma+\angle BOC=180\degree {\small .}\)
Сложим эти равенства:
\(\displaystyle 2\alpha+2\gamma+\angle AOB+\angle BOC=360\degree {\small .}\)
Сумму величин смежных углов \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle BOC\) заменим на \(\displaystyle 180\degree {\text :}\)
\(\displaystyle 2(\alpha+\gamma)+180\degree=360\degree {\small .} \)
Получается, что сумма величин \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \gamma\) равна \(\displaystyle \frac{180\degree }{2}=90\degree {\small ,}\) а угол четырёхугольника при вершине \(\displaystyle B\) как раз составлен из частей величинами \(\displaystyle \alpha\) и \(\displaystyle \gamma{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \angle B=90\degree {\small .}\)
Углы при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) составлены из четырёх частей (по две на каждый), образующих две пары острых углов прямоугольных треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ACD{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD{\small ,}\) \(\displaystyle \angle BCD=\angle ACB+\angle ACD{\small .}\)
Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника составляет \(\displaystyle 90\degree {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \angle BAD+\angle BCD=(\angle BAC+\angle ACB)+(\angle CAD+\angle ACD)=90\degree +90\degree =180\degree {\small .}\)
По условию величины углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) соотносятся как \(\displaystyle 5:7{\small .}\)
Тогда
- величина угла при вершине \(\displaystyle A\) составляет \(\displaystyle \frac{5}{5+7}=\frac{5}{12_{~_~}}\) от суммы величин углов;
- величина угла при вершине \(\displaystyle C \) составляет \(\displaystyle \frac{7}{5+7}=\frac{7}{12}\) от суммы величин углов.
Находим соответствующие величины:
\(\displaystyle \angle BAD=\frac{5}{12}\cdot 180\degree =\)\(\displaystyle 75\degree {\small ,}\) \(\displaystyle \angle BCD=\frac{7}{12}\cdot 180\degree =\)\(\displaystyle 105\degree{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle A=75\degree {\small ,\;}~~ \angle B=90\degree {\small ,\;}~~\angle C=105\degree{\small .} \)