Из двух окружностей с общим центром \(\displaystyle O\) одна вписана в угол, стороны которого пересекают другую.
На рисунке отмечены и подписаны точки пересечений и касаний.
Для доказательства равенства хорд \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) использовали равенство четырёх треугольников.
Назовите эти треугольники. Выберите признак, позволяющий одновременно и наиболее коротко обосновать равенство всех четырёх.
| \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle =\) | \(\displaystyle {\bf\triangle}\) | |||
| \(\displaystyle \underbrace{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\) | ||||||
Отрезки \(\displaystyle MO\) и \(\displaystyle NO\) равны как радиусы меньшей окружности.
Отрезки \(\displaystyle AO{\small ,\;}BO{\small ,\;}CO\) и \(\displaystyle DO\) равны как радиусы большей окружности.
По условию меньшая окружность вписана в угол, то есть касается двух его сторон.
Радиус, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен касательной.
Значит, отрезки \(\displaystyle MO\) и \(\displaystyle NO\) перпендикулярны сторонам угла.
Получается, что хорды, равенство которых требуется доказать, составлены из катетов \(\displaystyle AM{\small ,\;}BM{\small ,\;}CN\) и \(\displaystyle DN\) прямоугольных треугольников \(\displaystyle AMO{\small ,\;}BMO{\small ,\;}CNO\) и \(\displaystyle DNO{\small .}\)
Эти треугольники равны по катету и гипотенузе \(\displaystyle -\) соответственно радиусам меньшей и большей окружностей.
Значит, равны и их вторые катеты. Они и составляют две равные хорды \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small .}\)
Для ответа находим среди предложенных вариантов треугольники \(\displaystyle AMO{\small ,\;}BMO\) и \(\displaystyle DNO\) и вписываем обозначение оставшегося треугольника \(\displaystyle CNO{\small .}\)
| Ответ: |  |