Центры \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle P\) описанной и вписанной окружностей треугольника \(\displaystyle ABC\) расположены на одной прямой с его вершиной \(\displaystyle C{\small .}\)
Известны длины двух сторон:
\(\displaystyle AB=9\) и \(\displaystyle AC=16{\small .}\)
Найдите периметр треугольника.
\(\displaystyle P_{ABC}=\)
Центр вписанной в треугольник окружности принадлежит всем его биссектрисам.
Прямая \(\displaystyle OP\) проходит через две точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle P\) биссектрисы треугольника.
Значит, она содержит всю биссектрису . Углы \(\displaystyle ACP\) и \(\displaystyle BCP\) равны.
Отрезки \(\displaystyle AO{\small ,\;}BO\) и \(\displaystyle CO\) равны как радиусы описанной окружности.
Рассмотрим равнобедренные треугольники \(\displaystyle ACO\) и \(\displaystyle BCO{\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит,
\(\displaystyle \angle CAO=\angle ACO=\angle BCO=\angle CBO{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Значит, если обозначить величину одного из этих равных углов через \(\displaystyle \alpha{\small ,}\) то величина каждого из углов \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle BOC\) выразится как \(\displaystyle 180\degree -2\alpha{\small .}\) Получается, что они равны.
Значит, треугольники \(\displaystyle ACO\) и \(\displaystyle BCO\) равны, например, по двум сторонам и образованому ими углу:
\(\displaystyle \begin{cases}\angle AOC=\angle BOC \\ AO=OB \\ CO~-~{\footnotesize\it общая~сторона}\end{cases}{\LARGE\Rightarrow}~~~~{\bf\triangle}ACO={\bf\triangle}BCO{\footnotesize\it ~(по~первому~признаку)} \)
Равенство треугольников означает равенство сторон, расположенных напротив равных углов:
\(\displaystyle BC=AC=16{\small .}\)
Остаётся найти периметр как сумму длин всех сторон треугольника:
\(\displaystyle P_{ABC}=AC+BC+AB=16+16+9=41{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle P_{ABC}=41{\small .}\)