Skip to main content

Теория: Задачи с параметром, количество общих точек (линейные функции, горизонтальная прямая) (короткая версия)

Задание

Постройте график функции

\(\displaystyle y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5\,\, &{\small{при}}\, \,x<2,\\-3x+7{,}5\,\, &{\small{при}}\, \,2\leqslant x\leqslant 3,\\x-6\,\, &{\small{при}}\, \,x>3.\end{cases}\)

Определите, при каких значениях \(\displaystyle m\) прямая \(\displaystyle y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

\(\displaystyle m \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Построим график кусочно-заданной функции по шагам:

  • сначала построим график \(\displaystyle y=2{,}5x-3{,}5 \) для \(\displaystyle x<2,\)
  • затем  построим график \(\displaystyle y=-3x+7{,}5 \) для \(\displaystyle 2\leqslant x\leqslant3\)
  • и построим график \(\displaystyle y=x-6\) для \(\displaystyle x>3\small.\)

Строим график \(\displaystyle y=2{,}5x-3{,}5 \) для \(\displaystyle x<2\small.\)

Строим график \(\displaystyle y=-3x+7{,}5 \) для \(\displaystyle 2\leqslant x\leqslant 3\small.\)

Строим график \(\displaystyle y=x-6\) для \(\displaystyle x>3\small.\)

Объединяя, получаем график кусочно-заданной функции.

Определим, при каких значениях \(\displaystyle y=m\) пересекает график ровно в двух точках.

Прямая \(\displaystyle y=m\) – горизонтальная прямая.

Меняя значение \(\displaystyle m,\) будем двигать данную прямую.

Определим, когда она имеет с графиком ровно две общие точки:

Таким образом, прямая \(\displaystyle y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки при

\(\displaystyle m\in(-3; \, -1{,}5)\cup\{1{,}5\}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle m\in(-3; \, -1{,}5)\cup\{1{,}5\}\small.\)