Skip to main content

Теория: Радиус окружности, периметр и площадь описанного многоугольника (короткая версия)

Задание

Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна \(\displaystyle 32{\small,}\) а радиус вписанной в него окружности равен \(\displaystyle 5{\small.}\) Найдите площадь четырёхугольника.

Решение

По условию сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна \(\displaystyle 32{\small.}\)

Значит, половина периметра данного четырёхугольника равна \(\displaystyle 32{\small.}\)

Правило

Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению половины периметра данного многоугольника на радиус вписанной окружности:

\(\displaystyle S=p \cdot r {\small,}\)

где \(\displaystyle S\) – площадь многоугольника,

\(\displaystyle p\) – половина периметра многоугольника,

\(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности.

По условию радиус вписанной окружности равен \(\displaystyle 5{\small.}\)

 

Подставим в формулу площади \(\displaystyle p=32{\small,}\) \(\displaystyle r=5\) и найдём площадь четырёхугольника:

\(\displaystyle S=p \cdot r=32 \cdot 5=160{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 160{\small.}\)