Skip to main content

Теория: Радиус окружности, периметр и площадь описанного многоугольника (короткая версия)

Задание

Угол при основании равнобедренной трапеции равен \(\displaystyle 30^{\circ}{\small,}\) а площадь трапеции равна \(\displaystyle 72{\small.}\) Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанная вокруг окружности равнобедренная трапеция:

  • \(\displaystyle \angle BAD=30^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle S_{ABCD}=72{\small.}\)

Требуется найти радиус \(\displaystyle \color{red}{r}\) окружности, вписанной в данную трапецию.

 

Воспользуемся формулой

\(\displaystyle S=p \cdot r {\small,}\)

где \(\displaystyle S\) – площадь трапеции,

\(\displaystyle p\) – половина периметра трапеции,

\(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности.

 

Выразим половину периметра трапеции через \(\displaystyle r{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Проведём высоту \(\displaystyle BH{\small.}\)

Высота трапеции \(\displaystyle ABCD\) равна диаметру вписанной окружности:

\(\displaystyle BH=2r{\small.}\)

 

В прямоугольном треугольнике напротив угла \(\displaystyle 30^{\circ}\) лежит катет, равный половине гипотенузы.

То есть в прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABH{\small:}\)

\(\displaystyle BH=\frac{1}{2}\ AB{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle AB=2 BH=2 \cdot 2r=4r{\small.}\)

Так как в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то

\(\displaystyle CD=AB=4r{\small.}\)

Замечание / комментарий

В описанном четырёхугольнике сумма противоположных сторон равна половине периметра этого четырёхугольника.

Следовательно, половина периметра:

\(\displaystyle p=2AB=2 \cdot 4r=8r{\small.}\)

 

Подставим в формулу площади \(\displaystyle S=72{\small,}\) \(\displaystyle p=8r{\small:}\)

\(\displaystyle S=p \cdot r {\small;}\)

\(\displaystyle 72=8r \cdot r{\small;}\)

\(\displaystyle r^2=9{\small.}\)

Так как длина радиуса окружности неотрицательна, то \(\displaystyle r=3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 3{\small.}\)