Skip to main content

Теория: Понятие сравнимости целых чисел по модулю натурального числа

Задание

Известно, что

\(\displaystyle a\equiv b\hspace{-2mm}\pmod {5} .\)


Выберите утверждения, которые гарантированно верны.

Решение

Если \(\displaystyle a\equiv b\hspace{-2mm}\pmod {5}{\small,}\) то всегда \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) дают равные остатки при делении на \(\displaystyle 5{\small.}\)

Если \(\displaystyle a\equiv b\hspace{-2mm}\pmod {5}{\small,}\) то всегда \(\displaystyle a-b\) делится на \(\displaystyle 5{\small.}\)

Это следует из правила

Правило

Целые числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) сравнимы по модулю натурального числа \(\displaystyle m\small\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle a-b\) делится на \(\displaystyle m\small.\)

при \(\displaystyle m=5\small.\)

Если \(\displaystyle a\equiv b\hspace{-2mm}\pmod {5}{\small,}\) то не всегда \(\displaystyle a+b\) делится на \(\displaystyle 5{\small.}\)

Попробуем привести пример чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small}\) таких, что

  • \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) сравнимы по модулю \(\displaystyle 5{\small,}\)
  • их сумма не делится на \(\displaystyle 5{\small.}\)

 

Например, \(\displaystyle a=6\) и \(\displaystyle b=1\small.\) 

  • \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 1\) сравнимы по модулю \(\displaystyle 5{\small,}\)так как их разность

\(\displaystyle 6-1=5\) делится на \(\displaystyle 5\small.\)

  • Но их сумма 

\(\displaystyle 6+1=7\) не делится на \(\displaystyle 5\small.\)

Если \(\displaystyle a\equiv b\hspace{-2mm}\pmod {5}{\small,}\) то не всегда \(\displaystyle ab\) делится на \(\displaystyle 5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) дают равные остатки при делении на \(\displaystyle 5\small;\) \(\displaystyle a-b\) делится на \(\displaystyle 5\small.\)