Теория: 10 Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Представим, что искомый равнобедренный треугольник \(\displaystyle ABC\) построен.

Сумма величин углов треугольника составляет \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)

Значит, сумма величин углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle ABC\) в сумме с величиной угла при вершине \(\displaystyle C\) равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)

Величина угла при вершине \(\displaystyle C\) равна данному в условии углу. Она составляет \(\displaystyle 180\degree \) в сумме с величиной смежного с ним угла. 

Значит, величина угла, смежного с данным в условии, равна сумме величин углов при основании треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
 

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Значит, угол треугольника при вершине \(\displaystyle A~-\) половина смежного с данным в условии угла.
 

Наметился план решения, который соответствует заголовкам блоков в описании построения:

• проведём биссектрису, чтобы построить половину угла, смежного с данным в условии;
• отложим построенный угол при основании треугольника от луча \(\displaystyle BA{\text ;}\)
• получим вершину \(\displaystyle C\) на пересечении построенной биссектрисы и стороны отложенного угла.
   

В нашем случае необходимо построить окружность с центром \(\displaystyle A{\small .}\)

Из предложенных фрагментов подходит только тот, что использует исключительно изначально данные на рисунке обозначения. То есть проводится окружность с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AB{\small .}\)

В найденном фрагменте через \(\displaystyle K\) обозначается общая точка проведённой окружности с одним из лучей. Поскольку нас интересуют только стороны угла, смежного с исходным, а одну из них окружность пересекает в известной точке \(\displaystyle B{\small ,}\) точка \(\displaystyle K\) расположена на второй стороне.

Чтобы получить внутреннюю точку биссектрисы, следует проводить две окружности одинаковых радиусов с центрами \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle K{\small .}\)

Среди предложенных вариантов находим соответствующий этому построению. В нём используются окружности радиуса \(\displaystyle AB{\small ,}\) а внутренняя точка биссектрисы названа \(\displaystyle P{\small .}\)
 

Сторона \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABC\) задана по условию. Уже отложен угол \(\displaystyle BAC{\small ,}\) прилежащий к этой стороне.

Другой угол равен ему. Остаётся отложить его от луча \(\displaystyle BA{\small .}\)

Для того чтобы сделать это, нужны:

• две окружности одного радиуса с центрами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\text ;}\) на рисунке уже есть такие окружности радиуса \(\displaystyle AB{\text ;}\)
• третья окружность с центром \(\displaystyle A\) и радиусом, равным хорде первой окружности, соединяющей точки на сторонах откладываемого угла.

Значит, нужна общая точка проведённой биссектрисы \(\displaystyle AE\) и окружности с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AB{\small .}\) Среди предложенных фрагментов находим обозначение \(\displaystyle E\) для точки пересечения луча \(\displaystyle AP\) и нужной окружности.

Теперь можно выбирать, длину какой из хорд \(\displaystyle BE\) или \(\displaystyle EK{\small ,}\) соответствующих равным углам, назвать радиусом окружности с центром \(\displaystyle A{\small .}\) Среди предложенных фрагментов находим нужное построение с использованием хорды \(\displaystyle EK{\small .}\)  

После этого незаполненным остаётся только последний пункт описания построения.
 

Ответ: