Skip to main content

Теория: 10 Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Задание

На одном из двух данных отрезков \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle DE\) отмечена точка \(\displaystyle P{\small .}\)

Требуется построить треугольник \(\displaystyle ABC{\small ,}\) вписанная окружность которого имеет радиус, равный \(\displaystyle DE{ \small ,}\) и касается стороны \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle P{\small .}\)

Дополните описание одного из вариантов построения.

\(\displaystyle 1{\small .}\)

Провести перпендикулярную прямой  прямую через точку

На одном из её лучей отложить отрезок \(\displaystyle PO\small,\) равный отрезку 

\(\displaystyle 2{\small .}\)Провести луч \(\displaystyle AO{\small .}\) Отложить от него угол, равный углу  так, чтобы общая точка \(\displaystyle M\) его второй стороны и вписанной в искомый треугольник окружности не совпадала с точкой \(\displaystyle P{\small .}\)
\(\displaystyle 3{\small .}\)Провести луч \(\displaystyle BO{\small .}\) Отложить от него угол, равный углу  так, чтобы общая точка \(\displaystyle N\) его второй стороны и вписанной в искомый треугольник окружности не совпадала с точкой \(\displaystyle P{\small .}\)
\(\displaystyle 4{\small .}\)Получить третью вершину \(\displaystyle C\) искомого треугольника на пересечении лучей  и 
BN

 

Решение

Анализируя данные задачи, находим способ построить два угла, прилежащих к известной стороне \(\displaystyle AB\) искомого треугольника. Это позволяет свести задачу к построению треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

     Предположим, что искомый треугольник построен.

     Рассмотрим вписанную в него окружность.

Центр вписанной в треугольник окружности \(\displaystyle -\) точка пересечения его биссектрис.

     Отметим на рисунке центр \(\displaystyle O\) окружности и проведём отрезки \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle BO{\small .}\) Они являются частями биссектрис. Значит, равны углы, которые они образуют со сторонами.

     Радиус окружности, проведённый в точку её касания с прямой, перпендикулярен касательной.

     Значит, отрезок \(\displaystyle OP\) перпендикулярен стороне \(\displaystyle AB{\small .}\)

Значит, треугольник можно построить, предварительно получив центр описанной окружности:

  • восставить перпендикуляр к прямой \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle P\) и отложить на нём данный в условии радиус вписанной окружности;
  • удвоить углы, которые образуют отрезки \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle BO\) со стороной \(\displaystyle AB{\text ;}\)
  • построить треугольник  по двум полученным углам, прилежащим к данной по условию стороне \(\displaystyle AB{\small .}\)

Дополним описание построения, согласуя его с намеченным планом.

     В первом пункте описывается построение точки \(\displaystyle O{\small .}\)

     Сначала проводим прямую через точку \(\displaystyle P\) перпендикулярно отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)

 

     Затем откладываем на одном из лучей построенной прямой радиус \(\displaystyle PO\) вписанной окружности треугольника. По условию он равен отрезку \(\displaystyle DE{\small .}\)

 

     Во втором пункте строится и удваивается угол \(\displaystyle BAO{\small .}\)

     Вторая сторона отложенного угла содержит сторону \(\displaystyle AC\) искомого треугольника.


 

      В третьем пункте строится и удваивается угол \(\displaystyle ABO{\small .}\)

     Вторая сторона отложенного угла содержит сторону \(\displaystyle BC\) искомого треугольника.

 

     Четвёртый пункт заканчивает конструкцию построения треугольника \(\displaystyle ABC\) по данной стороне \(\displaystyle AB\) и прилежащим к ней углам.

     Третья вершина треугольника находится на пересечении сторон отложенных углов.

     В тексте описания следует использовать обозначения \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle BN\) для этих лучей, так как точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N~-\) единственные обозначенные их внутренние точки.

Ответ: