В трапеции \(\displaystyle ABCD\) \(\displaystyle (AD \parallel BC)\) угол \(\displaystyle ADB\) в два раза меньше угла \(\displaystyle ACB{\small,}\) \(\displaystyle AD = 6{\small,}\) \(\displaystyle BC = AC = 5{\small.}\) Найдите площадь трапеции.
Обозначим величину угла \(\displaystyle ADB\) за \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\small.\) Получим больше углов, равных \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\small.\) Для этого проведем биссектрису угла \(\displaystyle C\) в равнобедренном треугольнике \(\displaystyle ABC\small.\) Тогда \(\displaystyle \angle BCL=\angle ACL=\color{red}{\alpha}\small.\) Отрезок \(\displaystyle CL\) является медианой и высотой треугольника \(\displaystyle ABC\small.\) |  |
Так как \(\displaystyle BC \parallel AD{\small,}\) то \(\displaystyle \angle CBD=\angle BDA=\color{red}{\alpha}{\small.}\) Обозначим точку пересечения \(\displaystyle CL\) и \(\displaystyle BD\) за \(\displaystyle X\small.\) Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle LC\small.\) Тогда \(\displaystyle \angle CAX=\angle CBX=\color{red}{\alpha}\small.\) |  |
Поскольку \(\displaystyle \angle ACX=\angle ADX=\color{red}{\alpha}{\small,}\) то четырехугольник \(\displaystyle XCDA\) – вписанный. Значит, равны углы, опирающиеся на одну дугу \(\displaystyle CX{\small:}\) \(\displaystyle \angle XDC=\angle XAC=\color{red}{\alpha}{\small.}\) То есть \(\displaystyle \angle BDC=\color{red}\alpha{\small.}\) |  |
Основания трапеции параллельны: \(\displaystyle BC \parallel AD{\small.}\) Тогда \(\displaystyle \angle DAC=\angle BCA=2\color{red}{\alpha}{\small.}\)
То есть треугольник \(\displaystyle ACD\) – равнобедренный.
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
Основания трапеции известны: \(\displaystyle BC=5\) и \(\displaystyle AD=6{\small.}\)
А высота трапеции совпадает с высотой треугольника \(\displaystyle ACD{\small,}\) проведенной из точки \(\displaystyle C{\small.}\)
Высота равнобедренного треугольника \(\displaystyle ACD{\small,}\) проведенная из точки \(\displaystyle C{\small,}\) равна
\(\displaystyle h=4{\small.}\)
Тогда площадь трапеции равна
\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{5+6}{2}\cdot4=22{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle S_{ABCD}=22{\small.}\)