В равнобедренном треугольнике \(\displaystyle ABC\) с основанием \(\displaystyle AB\) рассматриваются:
- прямая \(\displaystyle k~-\) серединный перпендикуляр к стороне \(\displaystyle AB{\text ;}\)
- прямая \(\displaystyle l~-\) серединный перпендикуляр к стороне \(\displaystyle AC{\text ;}\)
- луч \(\displaystyle m~-\) биссектриса угла при вершине \(\displaystyle A{\text ;}\)
- луч \(\displaystyle n~-\) биссектриса внешнего угла треугольника, одна из сторон которого \(\displaystyle -~BC{\small .}\)
Подберите по две из этих прямых для нахождения центров трёх следующих окружностей.
| Точка | Пересекающиеся в ней фигуры |
| Центр описанной окружности треугольника \(\displaystyle ABC\) | |
| Центр вписанной окружности треугольника \(\displaystyle ABC\) | |
| Центр одной из вневписанных окружностей треугольника \(\displaystyle ABC\) |
Построим произвольный равнобедренный треугольник \(\displaystyle ABC\) с основанием \(\displaystyle AB{\small .}\) Добавим на рисунок биссектрисы \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle n\) внутреннего и внешнего углов и серединные перпендикуляры \(\displaystyle l\) и \(\displaystyle k{\small .}\)
Заметим, что по условию вершина \(\displaystyle C\) равноудалена от концов отрезка \(\displaystyle AB{\small .}\)
Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Значит, серединный перпендикуляр \(\displaystyle k\) к стороне \(\displaystyle AB\) проходит через вершину \(\displaystyle C{\small .}\) Поскольку он также проходит через середину стороны \(\displaystyle AB{\small ,}\) его частью является медиана треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
В равнобедренном треугольнике проведённые к основанию медиана, биссектриса и высота совпадают.
Значит, биссектриса угла \(\displaystyle ACB\) является частью прямой \(\displaystyle k{\small .}\)
На чертеже задачи есть два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Это прямые \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle l{\small .}\) Точка пересечения этих прямых \(\displaystyle -\) центр описанной около треугольника окружности.
На чертеже задачи проведены биссектрисы углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Это \(\displaystyle -\) луч \(\displaystyle m\) и часть прямой \(\displaystyle k\) Точка пересечения этих лучей является центром вписанной окружности треугольника.
Единственная на чертеже биссектриса \(\displaystyle n\) внешнего угла треугольника пересекается только с одной из двух рассматриваемых биссектрисс углов треугольника \(\displaystyle -\) с лучом \(\displaystyle m{\small .}\)
Точка пересечения этих лучей \(\displaystyle -\) центр вневписанной окружности треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) касающейся стороны \(\displaystyle BC{\small .}\)
| Ответ: |  |