Периметр треугольника \(\displaystyle ABC\) равен \(\displaystyle 86{\small ,\;}\) а величины углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) составляют соответственно \(\displaystyle 73\degree\) и \(\displaystyle 47\degree {\small .}\)
Найдите периметр треугольника \(\displaystyle CPQ{\small ,}\) вершины \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) которого \(\displaystyle -\) точки касания вневписанной окружности треугольника \(\displaystyle ABC\) с продолжениями его сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)
\(\displaystyle P_{CPQ}=\)
Стороны \(\displaystyle CP\) и \(\displaystyle CQ\) треугольника \(\displaystyle CPQ~-\) отрезки касательных, проведённых из точки \(\displaystyle C\) к вневписанной окружности треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Отрезки проведённых к одной окружности из одной точки касательных от этой точки до точек касания равны.
Значит, треугольник \(\displaystyle CPQ\) равнобедренный с основанием \(\displaystyle PQ{\small .}\)
Уточним его вид, выразив величину угла при вершине \(\displaystyle C{\small .}\)
Сумма величин трёх углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Значит, величина угла \(\displaystyle PCQ\) составляет:
\(\displaystyle \angle PCQ=\angle ACB=180\degree -\angle CAB-\angle CBA=180\degree -73\degree -47\degree=60\degree {\small .}\)
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Значит, величина каждого из углов при вершинах \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) треугольника \(\displaystyle CPQ\) равна
\(\displaystyle \angle CPQ=\angle CQP=\frac{180\degree -60\degree }{2}=60\degree {\small .}\)
Получается, что все углы треугольника \(\displaystyle CPQ\) равны. Он является равносторонним и для определения его периметра достаточно найти и утроить длину любой его стороны.
Периметр треугольника \(\displaystyle ABC\) представляет собой сумму длин трёх его сторон:
\(\displaystyle P_{ABC}=AC+BC+AB{\small .}\)
Обозначив через \(\displaystyle T\) точку касания вневписанной окружности со стороной \(\displaystyle AB{\small ,}\) распишем в выражении периметра длину отрезка \(\displaystyle AB\) как сумму длин его частей:
\(\displaystyle P_{ABC}=AC+BC+AT+BT{\small .}\)
Отрезки проведённых к одной окружности из одной точки касательных от этой точки до точек касания равны.
Заменим в выражении периметра отрезки \(\displaystyle AT\) и \(\displaystyle BT\) равными им отрезками касательных \(\displaystyle AP\) и \(\displaystyle BQ{\small .}\)
\(\displaystyle P_{ABC}=AC+BC+AP+BQ{\small .}\)
Группируя слагаемые получаем:
\(\displaystyle P_{ABC}=(AC+AP)+(BC+BQ)=CP+CQ{\small .}\)
Поскольку отрезки \(\displaystyle CP\) и \(\displaystyle CQ\) равны, длина \(\displaystyle CP \) составляет половину периметра треугольника \(\displaystyle ABC{\text :}\)
\(\displaystyle CP=\frac{P_{ABC}}{2}=\frac{86}{2}=43{\small .}\)
Для ответа на вопрос задачи остаётся только в три раза увеличить длину найденной стороны \(\displaystyle CP\) равностороннего треугольника \(\displaystyle CPQ{\text :}\)
\(\displaystyle P_{CPQ}=3\cdot CP=3\cdot 43=129{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle P_{CPQ}=129{\small .}\)