Определите графически количество решений системы уравнений: \(\displaystyle \begin{cases}xy=-8{\small,}\\2x+3y=6 {\small.}\end{cases} \)
Ответ: Система уравнений
C геометрической точки зрения, решениями системы уравнений
\(\displaystyle \begin{cases}xy=-8{\small,}\\2x+3y=6 {\small.}\end{cases} \)
являются точки, которые одновременно лежат
- на графике уравнения \(\displaystyle xy=-8{\small , }\)
- на графике уравнения \(\displaystyle 2x+3y=6{\small . }\)
Значит, все такие точки – это точки пересечения данных графиков.
Построим данные графики в одной системе координат и по рисунку определим, в скольких точках они пересекаются.
Для удобства выразим сначала в уравнениях \(\displaystyle y\) через \(\displaystyle x{\small . }\) Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=-\cfrac{8}{x}{\small , }\\y&=-\cfrac{2}{3}\, x+2{\small . }\end{aligned}\right.\)
1. Построим гиперболу \(\displaystyle y=-\dfrac{8}{x}{\small . }\)
2. Построим на этом же рисунке прямую \(\displaystyle y=-\dfrac{2}{3}x+2{\small . }\)
3. Определим по рисунку количество точек пересечения гиперболы и прямой
Видим, что гипербола и прямая пересекаются в двух точках. Значит, исходная система уравнений имеет два решения.
Ответ: Система уравнений имеет два решения.