Задание
Вычислите произведение, используя формулы сокращенного умножения:
\(\displaystyle (2\sqrt{3}+3\sqrt{5}\,)(2\sqrt{3}-3\sqrt{5}\,)=\)
Решение
Формула разности квадратов
Правило
Разность квадратов
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)(a-b\,)=a^2-b^2{\small . }\)
Воспользуемся формулой разности квадратов, где \(\displaystyle a=2\sqrt{3} \) и \(\displaystyle b= 3\sqrt{5} \,{\small : }\)
\(\displaystyle (2\sqrt{3}+3\sqrt{5} \,)(2\sqrt{3}-3\sqrt{5} \,)= (2\sqrt{3}\,)^2- (3\sqrt{5} \,)^2 {\small . }\)
По свойству степени в степени и по определению корня
\(\displaystyle (2\sqrt{3}\,)^2=2^2(\sqrt{ 3}\,)^2=4\cdot 3=12\) и \(\displaystyle (3\sqrt{5} \,)^2=3^2(\sqrt{ 5}\,)^2=9\cdot 5=45{\small . } \)
Значит,
\(\displaystyle (2\sqrt{3}\,)^2- (3\sqrt{5} \,)^2= 12-45= -33 {\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle -33{\small . } \)