Skip to main content

Теория: Выделение полного квадрата

Задание

Дополните квадратное уравнение справа и слева одним и тем же числом так, чтобы слева получился полный квадрат:

\(\displaystyle x^2+4x=12\)

\(\displaystyle x^2+4x+\)\(\displaystyle =12+\)


Запишите получившееся равносильное квадратное уравнение:

\(\displaystyle \big(x\)\(\displaystyle \big)^2=\)

Решение

Правило

Квадрат суммы

Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно

\(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Для того чтобы дополнить выражение \(\displaystyle x^2+4x\) до полного квадрата, распишем его так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2+\color{red}{2}\cdot \frac{ 4x}{ \color{red}{2} }=x^2+\color{red}{2}\cdot x \cdot 2{\small .}\)

Сравним формулу полного квадрата и полученное нами выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{2}\,+\,?\end{aligned}\)

Следовательно, \(\displaystyle b=2{\small , }\) и чтобы получить квадрат суммы, к исходному выражению нужно добавить \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{2}^2=\color{green}{4}{\small : }\)

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{x}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2+ \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{2}\,+\color{green}{\bf 4}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому дополним равенство

\(\displaystyle x^2+4x=12\)

с обеих сторон числом \(\displaystyle \color{green}{4}\)

\(\displaystyle x^2+4x+\color{green}{4}=12+\color{green}{4}\)

и распишем в его левой части квадрат суммы:

\(\displaystyle x^2+2\cdot 2\cdot x+\color{green}{2^2}=16{\small . }\)

Следовательно,

\(\displaystyle (x+2)^2=16{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle (x+2)^2=16{\small .}\)