Skip to main content

Теория: Выделение полного квадрата

Задание

Дополните квадратное уравнение справа и слева одной и той же дробью так, чтобы слева получился полный квадрат:

\(\displaystyle x^2-9x=-1\)

\(\displaystyle x^2-9x\,+\)
\frac{81}{4}
\(\displaystyle =-1+\)
\frac{81}{4}


Запишите получившееся равносильное квадратное уравнение:

\(\displaystyle \big(x\)
\frac{9}{2}
\(\displaystyle \big)^2=\)
\frac{77}{4}
Решение

Правило

Квадрат разности

Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно

\(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Для того чтобы дополнить выражение \(\displaystyle x^2-9x\) до полного квадрата, распишем его так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 9x}{ \color{red}{2} }=x^2-\color{red}{2}\cdot x \cdot \frac{9}{2}{\small .}\)

Сравним формулу полного квадрата и наше выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2+\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{\frac{9}{2}}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=\frac{9}{2}{\small , }\) и к нижнему выражению нужно добавить \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\left(\color{green}{\frac{9}{2}}\right)^2=\color{green}{\frac{81}{4}}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности.

Дополним равенство

\(\displaystyle x^2-9x=-1\)

с обеих сторон числом \(\displaystyle \color{green}{\frac{81}{4}}\)

\(\displaystyle x^2-9x+\color{green}{\frac{81}{4}}=-1+\color{green}{\frac{81}{4}}\)

и распишем квадрат разности слева явно:

\(\displaystyle x^2-2\cdot \frac{9}{2}\cdot x+\color{green}{\left(\frac{9}{2}\right)^2}=\frac{77}{4}{\small . }\)

Следовательно,

\(\displaystyle \left(x-\frac{9}{2}\right)^2=\frac{77}{4}{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle \left(x-\frac{9}{2}\right)^2=\frac{77}{4}{\small .}\)